HISTÓRIA DA CONTAGEM

Imagem extraída de Imagens Engraçadas

Uma Breve História da Contagem

"A Teoria das Probabilidades no fundo não é mais do que o bom senso traduzido em cálculo; permite calcular com exatidão aquilo que as pessoas sentem por uma espécie de instinto ... É notável que tal ciência, que começou nos estudos sobre jogos de azar, tenha alcançado os mais altos níveis do conhecimento humano " Pierre Simon (Marquês de Laplace)

Desde a antiguidade o homem vem se preocupando com problemas sobre contagem e com as questões que envolvem o acaso. No século III a.C., o matemático Arquimedes (287 - 212 a.C.) que nasceu em Siracusa, na ilha da Sicília, ocupou-se do jogo Stomachion que tinha por objetivo saber de quantas formas suas partes menores poderiam formar o mesmo quadrado, tendo como resposta 17.152 vezes. Na idade média, o judeu Rabbi Abraham Ben Meir Ezra que nasceu,  em Toledo em 1090, na atual Espanha e morreu; provavelmente em Roma em 1167, dedicou-se à poesia, gramática, astrologia e matemática. Suas atividades relacionadas às previsões astrológicas; pode tê-lo tornado um dos precursores da Teoria das Probabilidades.

Da necessidade que o homem teve em calcular maneiras seguras de ganhar em certos jogos de azar, tais como: baralhos, dados e moedas, o levou a desenvolver técnicas que, atualmente, são bases para muitos ramos do conhecimento. Em 1494 o frade italiano Luca Pacioli (1445 – 1514) apresentou um trabalho intitulado Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita que trata de aritmética, álgebra, geometria euclidiana elementar e contabilidade. Na Summa, Pacioli propôs o “problema dos pontos” ou “problema da divisão”, no qual pede para se determinar, com base no resultado parcial, uma distribuição justa das apostas num jogo de azar interrompido. O também italiano Girolamo Cardano (1501 - 1576) contribuiu com trabalhos sobre jogos de azar. Cardano publicou Liber de ludo aleae (O livro dos jogos de azar) por volta de 1560 que é o primeiro trabalho organizado que apresenta número de hipóteses, cálculo de expectativas e previsões acerca de jogos de dados. Ele desenvolveu profundamente as técnicas de contagem de combinações dando base ao estudo da Probabilidade.

No século XVII, os problemas ligados aos jogos, continuaram a ocupar os matemáticos, como os franceses Pierre de Fermat (1601 - 1665) e Blaise Pascal (1623 - 1662) que sistematizaram a Análise Combinatória. Em 1654, George Brossin (1607-1684), Chevalier (cavaleiro) de Méré, que foi cortesão de Luís XIV propôs a Pascal o problema dos dados e o da divisão dos pontos. Como Pascal e Fermat desenvolviam trabalhos através de correspondências, Pascal relatou os problemas a Fermat, chegando ambos a solucioná-los. Numa das cartas, Pascal propõe a Fermat uma questão que seu amigo Méré havia-lhe proposto: “Em oito lances de um dado um jogador deve tentar lançar um, mas depois de três tentativas infrutíferas o jogo é interrompido. Como deveria ele ser indenizado?”. Esse trabalho é considerado o marco de fundação da Teoria Matemática da Probabilidade e isso levou às ideias  – de um século atrás – de Cardano ao esquecimento.

Embora nem Pascal nem Fermat tenham publicado seus resultados, definiram conceitos como expectativa, chance e média, além de estabelecerem técnicas de contagem e estatística de incidência de casos num dado fenômeno. Ainda no século XVII, o holandês Christian Huygens (1629 - 1695) publicou um trabalho, intitulado De Ratiociniis in Ludo Aleae (O Raciocínio nos Jogos de Dados), no qual apresentou contribuições ao estudo das Probabilidades. Paralelamente a isso, o suíço Jakob Bernouilli (1654 - 1705), propôs um teorema onde afirmava: “A probabilidade de um evento ocorrer tende a um valor constante quando o número de ensaios desse evento tende ao infinito”.

Pascal havia ligado o estudo das probabilidades com o triângulo aritmético, levando a discussão tão mais longe que Cardano que o arranjo triangular a partir daí é conhecido como triângulo de Pascal. O próprio triângulo tinha mais de 600 anos, mas Pascal descobriu algumas propriedades novas, por exemplo: “Em todo triângulo aritmético, se duas células são contíguas na mesma base, a superior está para a inferior como o número de células desde a superior até o topo da base está para o número de células da inferior, até o ponto mais baixo inclusive.”.

Ainda no século XVII, O desenvolvimento do binômio (a+b)ⁿ está entre os primeiros problemas estudados e ligados à Análise Combinatória. O inglês Isaac Newton (1642 - 1727) foi físico-matemático que muito contribuiu para a ciência de base para a tecnologia do mundo moderno. As contribuições de Newton incluíram a Teoria da Gravitação Universal, sistematizou as Leis da Dinâmica (as Leis do Movimento), sistematizou a Óptica e concebeu a Teoria das Cores. Além disso, como era dotado de habilidade manual, construiu complexos instrumentos científicos, em particular telescópios e lentes. No campo da Matemática, suas contribuições de suma importância foram os Cálculos: Integral e Diferencial (1666), mas também se ocupou do Cálculo Numérico, Séries Infinitas, Álgebra, estudos sobre Curvas e Leis da Potenciação, isto é, Binômio de Newton.

            Por volta de 1664 – 1665 quando estava com apenas 22 anos investigou as Regras de Potenciação de Binômios, generalizando para expoentes fracionários e negativos o que pelo menos Cardano, o também italiano Niccolò Fontana, conhecido como Tartaglia, (1499 - 1557) e Pascal já conheciam relativamente a potências inteiras e positivas. A prova deste teorema nunca foi publicada e sua análise só foi escrita em 1669 e publicada em 1711 com o nome “De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas”. Este trabalho ficou conhecido como Teorema Binomial, que é uma generalização do Triângulo de Pascal.

            Teorema Binomial

            A expansão da expressão da forma (a+b)ⁿ, nos fornece a seguinte sequência (n є N  e a,b є R):

n = 0 → (a+b)⁰ = 1

n = 1 → (a+b)¹ = 1.a + 1.b

n = 2 → (a+b)² = 1.a² + 2.a.b + 1. b²

n = 3 → (a+b)³ = 1.a³ + 3.a².b + 3.a.b² + 1.b³

n = 4 → (a+b)⁴ = 1.a⁴ + 4.a³.b + 6.a².b² + 4.a.b³ + 1.b⁴

n = 5 → (a+b)⁵ = 1.a⁵ +5.a⁴.b + 10.a³.b² + 10.a².b³ + 5.a.b⁴ + 1.b⁵

  .

  .

  .

Note que esta expressão vem do Triângulo de Pascal

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

            Newton observou que o triângulo de Pascal que gera os coeficientes de uma expressão na forma (a+b)ⁿ, também poderia gerar os coeficientes de uma expressão na forma (a+b)^m/n e (a+b)^-n, então passou a trabalhar com a expressão 

(1+ x)^1/2 =  √1+x  e (1+x)^-3 = 1/(1+x)³ 

       Desta forma, ele conseguiu generalizar o Teorema Binomial, anunciado em duas cartas, a primeira datada de 13 de junho de 1676, escrita ao então secretário da Royal Society, Henry Oldenburg (1615?-1677), a carta era endereçada ao alemão  Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) em resposta a um pedido de informações do trabalho sobre séries infinitas. Na segunda carta, datada de 24 de outubro do mesmo ano, Newton deu detalhes de como chegou à série binomial. Newton não passou diretamente do triângulo de Pascal para o Teorema Binomial, mas indiretamente de um problema de quadratura para o Teorema Binomial.

        Posteriormente a esses fatos, o desenvolvimento da Análise Combinatória se fez através dos trabalhos de matemáticos renomados como Bernouilli, que foi um dos primeiros matemáticos a se ocupar da probabilidade, tendo a publicação de seu livro: Ars Conjectandi (Arte de Conjeturar) ocorrido, postumamente, em 1713, Leibnitz , o francês Abraham de Moivre (1667 - 1754) que publicou “Doctrine of Chances” em 1718 onde se encontra muito material sobre a Teoria das Probabilidades, o suíço Leonhard Euler (1707 - 1783) se ocupou por expectativa de vida, loterias e por o valor de uma anuidade, trabalhos publicados na revista Memoiren (Memórias) da Academia de Berlim, o francês Pierre Simon – marques de Laplace – (1749 - 1827) que publicou “Théorie Analytique des Probabités” (Teoria Analítica das Probabilidades), o alemão Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) o russo Pafnuti L. Tchebycheff (1821 - 1894), o russo Andrei Andreyevitch (1856 - 1922), o russo Andrey N. Kolmogorov (1903-1987) e muitos outros que se ocuparam de problemas probabilísticos.

Na Teoria das Probabilidades podemos encontrar muitos problemas interessantes, alguns dos quais apresentam resultados inesperados ou paradoxais que levam às discussões filosóficas sobre o que é o acaso e o que são probabilidades. Um problema interessante, muito conhecido, é chamado problema da agulha de Buffon (Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon (1707 – 1783), naturalista francês): Considere uma área plana, dividida em faixas de larguras iguais, a, por retas paralelas. Lance sobre esta região, ao acaso, uma agulha de comprimento 2r, com 2r < a. Qual a probabilidade de que a agulha corte uma das paralelas?

Atualmente, a Análise Combinatória e a Teoria das Probabilidades são capítulos de extrema importância na Matemática.  Suas aplicações estão presentes em muitos ramos da Matemática, como a Estatística (a inferência estatística, delineamento dos experimentos científicos, a correlação entre variáveis), a Geometria Combinatória, a Álgebra, a Teoria dos Grafos (que estuda as relações binárias em um conjunto enumerável) e a Lógica.  A Combinatória e a Probabilidade são também muito aplicadas na Programação de Computadores, na Economia, na Biologia Molecular, na Cristalografia (ciência que estuda os cristais e as leis que regem sua formação) Engenharia (controle de qualidade da produção industrial, Teoria das Filas, Teoria da Informação, Teoria do Risco), Física (Teoria dos Erros Experimentais, Probabilidades na Física Estatística, Probabilidades na Física Quântica), Química, Teoria dos Jogos Estratégicos, Psicologia e na Sociologia. Historicamente, a Análise Combinatória foi concebida para solucionar os problemas dos jogadores de jogos de azar, no entanto o seu advento evoluiu tanto que foi axiomatizado rigorosamente que se transformou num Sistema Matemático Dedutivo.

PARA SABER MAIS

BOYER, Carl B. História da Matemática, 2ª edição. Editora Edgard Blücher. São Paulo, 1996.

GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências, 2ª edição. Editora Livraria da Física. São Paulo, 2007.

GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas, 3ª edição. Editora Livraria da Física. São Paulo, 2009.

CONTADOR, Paulo Roberto Martins. Matemática, uma breve história, em 3 volumes, volume 2, 2ª edição. Editora Livraria da Física, 2006.

EVES, Howard, Introdução à História da Matemática. Editora UNICAMP. São Paulo, 2004.

CONCEITO E HISTÓRIA DA PROBABILIDADE

SÓ MATEMÁTICA: HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

INFOESCOLA: ANÁLISE COMBINATÓRIA

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O INFINITO

∞ REFLEXÃO SOBRE O INFINITO ∞

“A imaginação é mais importante do que o conhecimento.” 

Albert Einstein (1879 – 1955)

Introdução

            O Espírito Científico fortemente presente nos trabalhos acadêmicos não existiria se não houvesse um ínfimo sentimento religioso herdado da “transmutação” da mente da humanidade. Primitivamente ligada ao substancial, mas com o nascimento do pensamento - no sentido de se expor algo íntimo, isto é, transmitir para outra mente o que foi concebido em si – imbuído de imaginação; o deus substancial, manufaturado a partir do barro desmaterializa-se em imaginação e o universo humano conquista hiperespaços conectados a infinitas dimensões.

            A final, o que é o infinito? Os pensadores que se ocupam da abordagem do Infinito ou dos Infinitos, como em todo trabalho, o dividem em partes para que se possa analisá-lo de modo minucioso, ou seja, tendendo para a perfeição. Assim, tanto no texto de Serra quanto no texto de Martinez, ambos expõem a temática em linguagem compreensível.

Os Infinitos

          Uma abordagem leve do infinito é o Infinito Potencial que é usado em processos de contagem (elefantes em fila expressando uma contagem, ilustração do texto de Martinez), que podem, em princípio, continuar ilimitadamente (sequência numérica). Este princípio faz referência também aos objetos que podem crescer eternamente. Na Geometria Euclidiana os objetos são definidos num espaço limitado, seria isto uma aparente negação do infinito?

            O Infinito Real (em ato) é um tema de extrema complexidade. Serra, do ponto de vista matemático, expõe em seu texto que a história moderna do infinito matemático começa com o matemático checo Bernard Bolzano (1781-1848) que em seu trabalho “Paradoxos do Infinito” defendia esta questão, isto é, pretendia situar o verdadeiro infinito no campo da matemática. Ele foi o primeiro que tentou construir um conceito puramente matemático e um cálculo do Infinito Atual. A concepção do infinito advinda do contexto geométrico relacionado à perspectiva e à admissão de pontos no infinito, segundo o texto de Martinez, possibilita a quantificação e a resolução de problemas do mundo real. Quando se tem o limite tendendo a 2, por exemplo, jamais chega-se a 2; não se pode torná-lo concreto, no entanto sabe-se da sua existência. Assim, o ponto relevante das demonstrações por recorrência é a passagem do infinito potencial ao infinito em ato.

Os Infinitos no tempo

        O cálculo da medida da diagonal de um quadrado de lado 1 representa o marco da história do infinito. Raiz quadrada de 2 era conhecido pelos gregos como irracional e que não podia ser representado em forma de fração, ou ainda, não existe um número real que elevado ao quadrado resulte em raiz de dois. Temos então uma transmutação de um seguimento finito num número infinito, diz Serra em seu artigo.

A teoria das proporções de Eudoxo (390-338 a.C) possibilitou definir os irracionais, recorrendo ao finito. Sua ideia básica é facilmente compreendida através do sistema decimal atual. Por exemplo, para calcular o perímetro da circunferência de diâmetro 1 que sabemos medir π, podemos dizer que esse valor é menor que 3,15 e maior que 3,14, ou seja, podemos escrever uma dupla desigualdade. Este procedimento deu origem ao método da exaustão que é um precursor dos métodos infinitesimais renascentista.

O problema da divisibilidade do espaço e do tempo levou o infinito do âmbito matemático às questões filosóficas, expressas através dos paradoxos de Zenão (490-430 a.C.). Sendo o mais famoso a história do corredor Aquiles e a tartaruga. Ele argumentava que se a tartaruga iniciasse a corrida partindo alguns metros à frente de Aquiles, este nunca a alcançaria, pois, quando o ágil corredor atingisse a posição desta, a mesma já estaria pouco à frente. Em seguida Aquiles alcançaria a segunda posição do quelônio que, já estaria um pouquinho mais à frente e assim, por mais que o competidor humano corresse, jamais alcançaria a tartaruga. A ideia que esta história clássica transmite é a do infinito potencial, que jamais chegará ao fim.

        O ponto apoteótico da caminhada do infinito deu-se com George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) que provou que os conjuntos infinitos não têm todos, a mesma potência. Outro matemático estudioso da questão, Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916) estabeleceu uma bijeção entre dois conjuntos infinitos, base para a Teoria dos Conjuntos. Cantor baseou-se na ideia de que, o infinito de um segmento de reta podia ser demonstrado geometricamente (entre dois pontos, sempre existe um terceiro). Assim Cantor e Dedekind concluíram que, o infinito poderia ser demonstrado também, através da aritmética pura dos números reais. No entanto Cantor não concebia a existência dos infinitamente pequenos. Os matemáticos tiveram que esperar até 1966 para contemplar este resultado, dado por Abraham Robinson (1918-1974) através de sua Análise não standart.

O tempo dos infinitos

            Diante de tamanha complexidade, o eterno mistério que habita a essência humana é a sua compreensibilidade. A matemática, a ciência dos números e das formas, vem auxiliando a maioria das ciências, se não todas. Por exemplo, as estruturas do DNA, a Astrofísica, a Teoria da Relatividade, a Física Quântica necessitam também do cálculo infinitesimal para sua validade científica.

Do ponto de vista prático, explicar estes conceitos para alguém em fase inicial de aprendizado, uma sequência, por exemplo, caberia cantar a velha canção dos elefantes (potencial): “Um elefante se pendurou numa teia de aranha, mas quando ele viu que a teia resistiu, foi chamar outro elefante. Dois elefantes se penduraram ...”. Mas sabe-se que não existem infinitos elefantes.

Segundo o artigo de Martinez, o infinito em ato não existe na Natureza. O pai da Relatividade, disse certa vez: “As teses da matemática não são certas quando relacionadas com a realidade, e, enquanto certas, não se relacionam com a realidade.”. O espírito humano tem a capacidade de intuir situações fora do espaço palpável e a matemática é a ferramenta necessária para orientar os procedimentos; visto que, a matemática tem a peculiaridade de apresentar demonstrações, ditas puras, sem que haja aplicação nas ciências dependentes de seus resultados. Estas demonstrações são previsões do que poderá transmutar-se em realidade.

Por outro lado, seria uma cilada ensinar o conceito de infinito ao politiqueiro fazendo-lhe uma simples pergunta (potencial): A corrupção sócio-política no Brasil continuará infinitamente? A problemática seria discutir se a corrupção no Brasil possui dimensão infinita (em ato). Portanto, é possível existir, pelo menos, uma entidade completa e existente de tamanho infinito?

Saber Mais

MARTINEZ, Javier de Lorenzo. A Ciência do Infinito. Scientific American Brasil – Aula Aberta 6 – O prazer de ensinar ciências. Ano I – Nº 6 – 2011. Duetto Editorial. Págs 42-49.

SERRA, Isabel. Transmutações do Infinito. Centro Interdisciplinar de Ciência,Tecnologia e Sociedade da Universidade de Lisboa. Departamento de Matemática daFaculdade de Ciências de Lisboa. Acessado dia 26 de julho de 2012.

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Enviado por somatemática em 05/01/2012

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Enviado por somatemática em 21/12/2011

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NÚMEROS AMIGOS

Existem várias classes de números: os pares, os ímpares, os primos, os compostos (são os que possuem mais que dois divisores) e também mais duas classes cuja descoberta provoca divergência entre os historiadores de matemática. Para alguns pesquisadores essas outras clases de números foram descobertas pela Comunidade Pitagórica que tinha a frente o matemático grego Pitágoras por volta do século V antes de Cristo, são elas a classe dos Números Amigos e dos Números Perfeitos. Estes se caracterizam por serem iguais ao somatório de seus divisores, exceto eles mesmos. Por exemplo, 6 é perfeito, pois seus divisores, exceto ele, (1, 2, 3) somados resulta 6. Esta classe é a mais restrita, pois existem 30 números perfeitos, segundo EVES, 2004, p 99-100. Já os Números Amigos se caracterizam quando o somatório dos divisores de um deles, exceto eles mesmos, resulta no outro. Um exemplo bom é o da Escola de  Pitágoras: 220 e 284 são amigos, pois os divisores de 220, exceto ele, são (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 55, 110) que somados é igual a 284. Do mesmo modo, os divisores de 284 (1, 2, 4, 71, 142) somados resulta 220. Este par de números amigos é o menor que existe.

Os teologos antigos observaram que no livro bíblico Gênesis, Jacó dá 220 cabras para Esaú, desta forma eles entendiam que este ato era uma demonstração de amor de Jacó por Esaú. No decorrer da História da Matemática, precisamente na Idade Medieval os números que possuem as características dos números 220 e 284 tornaram-se símbolo de amizade e fazia-se talismãs,  com esses números,  para comercializá-los como amuletos do amor.

Tempos depois, no alto da Idade Moderna o matemático fracês Pierre de Fermat (1601-1665) apresentou mais um par de números amigos que são 17.296 e 18.416. No entanto o árabe al-Banna (1256-1321) descobrira este par quatro séculos antes de Fermat. Epa! Alarme falso, ele então redescobrira-os. Contemporâneo de Fermat, o filósofo e matemático fracês René Descarte (1596-1650) também mostrou a sua descoberta: 9.363.584 e 9.437.056.

Dois séculos depois,  o matemático e físico suíço Leonhard Euler (1707-1783) mostrou seu potencial e descobriu mais 62 pares destes números, mas Euler deixou escapar o par 1.184 e 1.210 que foi descoberto em 1866 pelo italiano Nicólo Paganini (não confundir com o violinista e compositor italiano Nicólo Paganini (1782-1840)) quando tinha apenas 17 anos. Segundo EVES, 2004, p 99: “Todos os números amigáveis inferiores a um bilhão já foram encontrados.”

O grande Pitágoras inventou a palavra filosofia (do grego Φιλοσοφία que significa amor à sabedoria) e também a palavra cosmo (do grego κόσμος que quer dizer ordem, organização, beleza, harmonia designando assim o universo. E mais ainda a palavra amizade (do grego φίλος que traduz uma relação afetiva sem características româticas e sexuais entre duas pessoas). Seu sentido abrangente envolve conhecimento mútuo, lealdade e altruísmo. Alguém lhe perguntou o que significa um amigo, ele então respondeu:

“AQUELE QUE É COMO 220 284, É O OUTRO EU.”

VOCÊ JÁ ENCONTROU O SEU OUTRO EU?

EXISTEM POR AÍ BILHÕES TENTANDO ENCONTRAR BILHÕES.

FELIZ DIA DO AMIGO !

CLIQUE AQUI E BRINQUE COM OS NÚMEROS AMIGOS

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 

BOYER, Carl B. História da Matemática (A History Of Mathematics, 1991 – Tradução: Elza F. Gomide), segunda edição. Editora Blucher Ltda, São Paulo, 1996.

 CONTADOR, Paulo Roberto Martins. A Matemática na Arte e na Vida. Editora Livraria da Física,São Paulo, 2008.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática (An Introdution To The History Of Mathematics, © 1964 – Tradução: Higyno H. Domingues). Editora da Unicamp, São Paulo, 2004. 

 1184 £ 1210

DOIS E DOIS SÃO CINCO !?

“Aquilo que os homens de fato querem não é o conhecimento, mas a certeza.”            

Bertrand Russell

Nos anos obscuros para muitos e nem tanto para poucos, o nosso iluminado Caetano Veloso compôs uma bela canção – “Como Dois e Dois” que diz tudo certo como dois e dois são cinco - para expressar a desigualdade usando uma ”igualdade”. No entanto lá na terra onde ele precisou viver, por motivo nem de longe certo, a banda britânica The Beatles acertou – com seus membros Paul, John, George e Ringo afinados em coro - o resultado da soma no verso “one and one and one is three” da canção Come Together, mas eles viviam num mundo onde todas as contas fechavam sem sofismos. Questões políticas, econômicas e sociais à parte ...

                DOIS E DOIS SÃO CINCO ... Então se

0 = 0 pode-se também representar assim

4 – 4 = 10 – 10 e esta deste modo

2² – 2² = (2 . 5) – (2 . 5) ela ainda tem essa aparência

2² – 2² = 2 . (2+3) – 2 . (2+3) e mais essa

(2 + 2) . (2 – 2) = (2 + 3) . (2 - 2)

Agora dividindo ambos os lados da igualdade por (2 – 2), chega-se a (2 + 2) = (2 + 3) que implica em 2 + 2 = 5. EPA!!! ABSURDO! TODOS NÓS SABEMOS QUE 2 + 2 = 4. A DEMONSTRAÇÃO ESTÁ FURADA! ONDE FOI QUE EU ERREI !?

Imagem extraída de wikipedia.org

      O grande e influente matemático, lógico e filósofo Bertrand Arthur William Russell (1872-1970), conterrâneo dos Beatles, escreveu a sua “Introdução à Filosofia Matemática” no cárcere (1918), este por motivos políticos, onde segundo ele as condições foram boas para filosofar. Assim, o resultado da prisão foi um texto claro, que não demanda conhecimentos prévios, onde ele expõe, de modo elementar a definição lógica de número, a análise da noção de ordem, a doutrina moderna do infinito, a natureza da infinitude e da continuidade, a teoria das descrições e classes como funções simbólica.  

     No decorrer de sua longa existência, ele foi agraciado com o Prêmio Nobel de Literatura em 1950, dedicou-se também à Psicologia, viajou por diversos países, onde em conferências que realizou, procurou explicar e divulgar as suas concepções filosóficas. Escreveu também os livros Outline of Philosoph, Principles of Social Reconstruction, The Analyses of Matter, Marriage and Morals, Education and the Social Order, e outros.  

     Bertrand, certa vez discorreu sobre a possibilidade de se deduzir qualquer coisa a partir de uma proposição falsa. Um dos seus pupilos o desafiou: “Considerando que 2 + 2 = 5, então é possível provar que o senhor é o Papa?”. Então ele respondeu “Sim”. Notando a expressão cética do aprendiz, o mestre lhe propôs a demonstração:

No mundo matemático eu sou Pop. Suponha que 2 + 2 = 5. Subtraindo 2 de cada lado da igualdade, obtemos 2 = 3. Por simetria 3 = 2. Agora subtraindo 1 de cada membro, tem-se que 2 = 1. O Papa e eu somos duas pessoas, se 2 = 1 então o Papa e eu somos um. Portanto, o Papa é Pop.

      Mas essa é outra canção ...  

Afinal, em que passagem da demonstração eu errei?

GENERALIZANDO O SOFISMO

Seja a = b, multiplica-se então a a ambos os membros da igualdade, assim

a = b

a.a = a.b . Soma-se a² – 2ab aos dois lados e tem-se

a² + a² – 2ab = ab + a² – 2ab. Simplificando fica

2a² – 2ab – a² – ab

2(a² - ab) = a² – ab. Divide-se os dois lados por a² – ab e concluí-se que

2 = 1 . AH ! MAIS UMA VEZ O ERRO FATAL ACONTECEU !

        Nas duas ocorrências, no último passo, onde se divide ambos os lados, no primeiro caso por 2 – 2 e desta vez por a² – ab (lembre que inicialmente assumimos que a = b ) é equivalente a dividir por ZERO, pois não se pode dividir por zero devido ao fato de zero não possuir inverso. Se zero tivesse inverso existiria algo que multiplicado por ele resultaria 1, por exemplo, 0 x a = 1 o que não é verdade.

          A lógica também nos leva às ciladas verbais.

UM POUCO DE REFLEXÃO

Afinal, por que estudar?

Quanto mais se estuda, mais se sabe.

Quanto mais se sabe, mais se esquece.

Quanto mais se esquece, menos se sabe.

Portanto, quanto mais se estuda menos se sabe.

Ora, por que estudar ?

       Devo lembrar e deixar claro que não estou fazendo apologia ao não estudar.

          Outro dia voltando para a minha casa ouvir a conversa, dentro do ônibus, em alto som, entre duas mulheres que discutiam entre elas sobre o amor. A mais nova disse: “Quem ama não adoece!”.  A outra, em fúria, rebateu: “As pessoas que amam não são felizes!”. Então só me restou concluir: Logo, as pessoas sadias são infelizes. Ora, ora.  Pois, pois. Cuidado ao usar a lógica!

“O truque da filosofia é começar por algo tão simples que ninguém ache digno de nota e terminar por algo tão complexo que ninguém entenda.” 

Bertrand Russell

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

BARROS, Dimas Monteiro de. Enigmas, Desafios, Paradoxos e Outros Divertimentos Lógicos e Matemáticos. Editora Novas Conquistas, São Paulo, 2003.

RUSSELL, Bertrand. Introdução à Filosofia Matemática (Introduction to Mathematical Philosophy, tradução de Maria Luiza X. de A. Borges). Editora Zahar, Rio de Janeiro, 2007.

NOVA ENCICLOPÉDIA DE BIOGRAFIAS, volume 4 de 5 volumes. Planalto Editorial Ltda, Rio de Janeiro, 1978.

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A PERFEIÇÃO DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO

Imagem extraída de wikimedia.org - Category:Margarita_Philosophica

Margarita Philosophica de Gregorius Reish, 1503. A Aritmética - simbolizada pela mulher de pé ao centro - parece decidir o debate que opõe abacistas e algoristas; ela olha na direção do calculador que usa os algarismos arábicos - com os quais sua roupa está enfeitada - simbolizando assim o triunfo do cálculo moderno na Europa ocidental.

“Deus criou o número inteiro, o resto é obra do homem” 

Leopold Kronecker (1823-1891)

Os algarismos tais como são conhecidos atualmente – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 - surgiram na Índia antiga onde se pode encontrar algumas colunas de pedras edificadas por volta do ano 250 a. C. pelo rei Açoka. Além desses exemplos, encontram-se registros talhados nas paredes de uma caverna na cidade de Poona datados do ano 100 a.C. Nessas amostras não se encontra representação para o número zero e nenhuma notação posicional, no entanto essas duas ideias devem ter sido introduzidas na Índia por volta do ano 800 d. C., devido à apresentação do matemático persa al-Khowârizmî, do Sistema Hindu, num livro do ano 825 d. C. Os pesquisadores ainda não responderam como e quando esses símbolos chegaram até a Europa, mas eles aparecem num manuscrito espanhol do século X. Provavelmente, estivessem na bagagem dos invasores Árabes que no ano 711 d. C., adentraram na Penísula Ibérica, onde permaneceram até o ano de 1492. Assim, como os hindus os inventaram e os árabes os propagaram eles são conhecidos por algarismos indo-arábicos ou sistema de numeração indo-arábico; sendo a palavra zero proveniente da palavra da forma latinizada zephirum derivada da palavra árabe sifr que foi traduzida da palavra hindu sunya que significa vazio ou vácuo.

 Note que esta invenção é a mais universal de todas as invenções humanas. Não houve Torre de Babel dos números, ou seja, desde o momento em que eles foram assimilados logo foram compreendidos, universalmente do mesmo modo e sem que houvesse confusão. No entanto, existem mais de quatro mil línguas, dezenas de alfabetos e de sistema de escrita, mas somente há um único sistema de numeração. Assim, o fato que faz indivíduos dos cinco continentes serem incapazes de se comunicar verbalmente não impede que se comuniquem quando escrevem os números usando os símbolos 0, 1, 2, ... , 9.

A explosão da Ciência, da Matemática e da Tecnologia foi facilitada pela numeração posicional que permitiu o desenvolvimento da máquina de calcular ou de tratar a informação, inicialmente mecânica, por Leonardo da Vinci (1452-1519), Willian Schickard (1592-1634), Blaiser Pascal (1623-1663), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), Charles Xavier Tomas de Colmar (1785-1870), Charles Babbage (1791-1871), Léon Bollée (1870-1913) dentre outros, em seguida eletromecânica por Hermann Hollerith (1860-1929), Leonardo Torres Quevedo (1852-1936), George Stibitz (1904-1995) e Howard Hathaway Aiken (1900-1973) e eletrônica por Alan Turing (1912-1954), Jonh Vicent Atanasoff (1903-1995), John Adan Presper Eckert (1919-1995), John Mauchly (1907-1980) e John Von Neumann (1903-1957).

Porém, é fundamental saber que todos os aparatos necessários para a construção de uma calculadora mecânica – alavancas, roscas sem fim, engrenagens, rodas dentadas ... – foram inventados e também utilizados desde a antiguidade por engenheiros e sábios como:  Ctesíbio de Alexandria (285-222 a.C.),  Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.) e Heron de Alexandria (10-85 d.C), no entanto para eles era impossível conceber tais máquinas, uma vez que não dispunham do sistema de numeração adequado.  

Pascal e Schickard se não conhecessem o zero e a numeração posicional não teriam construido suas máquinas de calcular. Sem esses dois conhecimentos o problema da mecanização e da automatização do cálculo jamais teria tido uma solução, o que levou inicialmentee às calculadoras eletrônicas e às máquinas programadas para tratar a informação e por fim à invenção e construção do computador eletrônico.

O sistema numérico permite escrever qualquer número inteiro de modo a facilitar o dia a dia em todos os âmbitos. Pode-se escrever de modo abreviado ou  notação científica, por exemplo, 1000 = 10³, um bilhão 10⁶, isso não modifica o sistema numérico.  Esse modo de escrever os números se submete às  regras da exponenciação e desempenha em relação à multiplicação um papel comparável ao desta última em relação à adição: a^m x aⁿ = a^m+n; a^m / aⁿ = a^m-n;  (a^m)ⁿ = a^m.n . Devido a essa notação um número como este 98.743.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 (com 39 zeros) pode ser escrito de um modo facilitado e econômico: 98.743 x 10³⁹. Ainda há outra forma de escrevê-lo chamada de ponto flutuante que fica assim 9,8743 x 10⁴³. A maioria das calculadoras e dos computadores eletrônicos atualmente é dotada deste dispositivo, através do qual indicam os números – ou pelo menos seu valor aproximado – que ultrapassam a sua capacidade de afixiar.

O poder da numeração de posição é tamanho que também possibilitou um desenvolvimento considerável da aritmética, tornando muito mais clara as propriedades dos números. Oserve abaixo os números palíndromos, isto é, que não mudam de valor quando lidos da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda.   

                                   £

       1   =   1²

               121   =   11²

                       12321  =   111²

                   1234321  =   1111²

               123454321  =   11111²

           12345654321  =   111111²

        1234567654321 =   1111111²

    123456787654321 =   11111111²

12345678987654321 =   111111111²

12345678987654321  =   123456789  X 99999999

REFERÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

BOYER, Carl B. História da Matemática (A History Of Mathematics, 1991 – Tradução: Elza F. Gomide), 2^a edição. Editora Blucher Ltda, São Paulo, 1996.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática (An Introdution To The History Of Mathematics, © 1964 – Tradução: Higyno H. Domingues). Editora da Unicamp, São Paulo, 2004.

IFRAH, Georges. Os Números – A História de Uma Grande Invenção (Les Chiffres Ou L’histoire D’une Grande Invention, 1985 – Tradução: Stella M. de Freitas Senra), 3^a edição. Editora Globo S.A, São Paulo, 1989. 

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