ÁREA DO POLÍGONO

ÁREA DO POLÍGONO

            O que significa polígono e superfície? : poli quer dizer muitos ou muitas e gono significa ângulo (e o que significa ângulo? é a união de duas semi-retas que têm a mesma origem, mas não pertencem à mesma reta.). Ambas as palavras são de origem grega. Portanto, polígono significa muitos ângulos e um polígono tem tantos lados quantos são seus ângulos. E superfície é a união dos limites do polígono com sua região interior, ou ainda parte exterior e visível dos corpos, isto é, medida do comprimento e da largura de uma área. Os principais polígonos são os triângulos, quadriláteros (paralelogramo (losango, retângulo e quadrado) e trapézio (escaleno e isóscele)). Temos também: pentágonos, hexágonos e assim por diante.

          E o que é geometria? (ciência que estuda as relações entre os pontos, as retas, as curvas, as superfícies e os sólidos no espaço).

 Desde a pré-história já eram utilizadas regras para medir comprimentos, superfícies e volumes (que não é o objetivo de nossa aula). Os desenhos encontrados nas cavernas contêm figuras geométricas de grande valor histórico-investigativo.

Mas tarde, na idade antiga, no Egito, por exemplo, ocorreram grandes e constantes inundações no vale do rio Nilo que levaram os matemáticos a descobrirem formas de medir as terras inundadas, para avaliar perdas nas plantações. Devido a isso os egípcios criaram fórmulas destinadas a dar aos agrimensores e aos fiscais de obras modos apropriados de cálculo da superfície do retângulo e, talvez, do triângulo.

Mas foi com os gregos que a geometria ganhou o título de Ciência do Espaço. Os gregos se preocuparam em definir claramente os elementos geométricos, demonstrar teoremas, assim desenvolveram uma matemática ligada às necessidades práticas. Desta forma, eclodiu uma geometria de caráter filosófico. Os matemáticos gregos que mais se destacaram foram: Tales de Mileto (624 – 548 a.C.), Pitágoras de Samos (560 – 480 a.C.), Platão (427 – 348 a.C.), Aristóteles (384 – 322 a.C.), Euclides (365  -  300 a.C) e Arquimedes (287 - 212 a.C.). Pesquisem sobre eles!

E por falar em necessidades práticas. No nosso dia a dia estamos cercados por situações que envolvem a necessidade de calcularmos áreas. Por exemplo, quando há a necessidade de publicarmos um anúncio num determinado jornal nos é cobrado um valor mínimo para cada quadradinho da superfície ocupada com o conteúdo da informação. Existem muitos outros exemplos, tais como, a venda de um terreno, a compra de azulejos e forro decorativo para casa ou escritório. Mas nós nos deparamos com muitas formas geometrias: triângulos (triláteros), quadriláteros (quadrângulos), pentágonos e muitos outros.

ÁREA DO RETÂNGULO E DO QUADRADO

             Alguém tem um terreno muito grande e deseja construir um campo de futebol cercado por um jardim. Esta pessoa dispõe de muitas placas quadradas de grama e diversas mudinhas de plantas ornamentais. De modo que com as placas de grama ela deseja gramar o campo e com as mudinhas deseja construir um jardim de formas geométricas.

Considere uma unidade quadrada cujo lado mede u, conforme a figura abaixo  

u

sendo u um número inteiro

Se duplicarmos e dispusermos a unidade quadrada lado a lado formando a figura ABCD, teremos:

observe que a base AB = 3u e a altura BC = 2u.

Assim, tomando-se o quadrado de lado u como padrão de medida chegamos à área do retângulo ABCD da seguinte forma:

                   Área _ABCD = 3u x 2u = 6u²

          Concluímos que a área do retângulo ABCD é igual à base vezes a altura ou simbolicamente  A _retângulo = b x h, sendo A representando a área (area, surface), b (base) a base e h (height) a altura, respectivamente.

          Observe que se retirarmos 2 unidades quadradas das 6 unidades quadradas, obteremos uma figura composta por 4 unidades quadradas e se arrumarmos as 4 unidades quadradas do seguinte modo, teremos:

que resulta na base AB = 2u e a altura BC = 2u

Então AB = BC e podemos concluir que o quadrado é o retângulo com base igual à altura. Com isso, vamos representar por L a medida do lado do quadrado. Temos:

           Área _quadrado = L x L = L²

Portanto, para alguém cobrir o seu campo de futebol com as placas quadradas de grama terá que decidir se este campo terá a forma retangular ou quadrada. Pois o modo de calcular a sua área é o mesmo.

ÁREA DO PARALELOGRAMO E DO TRIÂNGULO

E se alguém decide agora construir o jardim em volta do campo. Mas o campo ficou de forma retangular e para que a visualização do conjunto campo-jardim seja apreciado agradavelmente e não monotonamente alguém decidiu plantar as mudinhas em lotes de terra na forma de um paralelogramo e precise calcular a área.  

A área do paralelogramo é a mesma que a do retângulo obtido a partir da decomposição do paralelogramo. Portanto, podemos concluir que a área do paralelogramo é o produto da base pela altura. A = b x h.

Mas alguém decidiu dividir o paralelogramo em duas partes cortando-o do vértice B ao D. Veja:

Obtemos 2 triângulos congruentes, então a área do triângulo ABD é a metade da área do paralelogramo ABCD. Portanto, podemos concluir que

Mas se nós precisarmos calcular a área de um triângulo que possui os 3 lados iguais (chamamos de equilátero) .

NOTA: O matemático grego Heron descobriu uma fórmula para calcular a área do triângulo quando são conhecidos os três lados do triângulo. A dedução dessa fórmula é muito trabalhosa

ÁREA DO LOSANGO

Considere um losango ABCD em que a diagonal maior mede d1 e a menor d2. Traçando pelos vértices do losango paralelas às suas diagonais, encontraremos o retângulo MNPQ. Observe que a área do losango é a metade da área do retângulo, cuja base mede d1 e a altura, d2. Então: Vamos obter a área de um losango com diagonais d1 e d2. As duas diagonais dividem o losango em quatro triângulos congruentes, cada um com a seguinte área: Portanto, a área do losango é a metade do produto de suas diagonais. ^ /| ? º  º ? +

TETRAEDROS

TETRAEDROS

Na Geometria Espacial, como em outros conteúdos da Matemática, os objetos são abstratos e ideais e a representação destes em papel e lápis é delicada, exigindo determinadas habilidades do aluno e do professor, além de conhecimentos e domínio dos traçados nas construções geométricas.

De fato, a passagem de um objeto geométrico espacial para um desenho em um suporte bidimensional que o representa é feita por meio de projeções que não conservam todas as propriedades do objeto, resultando necessariamente em perda de informação. Assim, ainda que se reconheça a importância das representações no ensino da Geometria, alguns problemas surgem quando se trata de identificar, no desenho, as propriedades do objeto tridimensional.

Portanto, pesquisas no campo da Educação Matemática atestam a existência desse tipo de dificuldade, relacionada à questão da representação e da visualização de figuras 3D. O questionamento de Rommevaux  – pode-se ensinar os alunos a verem no espaço? – ilustra bem essa problemática, uma vez que, segundo a autora, é necessário “enxergar” três dimensões em um desenho que tem apenas duas.

PLATÔNICOS

            As formas poliédricas vêm sendo estudadas desde a antiguidade em especial pelos Egípcios. Um dos mais antigos documentos que comprova esses estudos é o papiro Ahmes, ou Rhind, copiado por volta de 1890 a.C. a partir de um papiro deixado por Imhotep , o quase lendário arquiteto e médico do Faraó Zoser, apresentando cálculos de área e volume de troncos de pirâmides (figura 1).

fig 1 Papiro de Rhind

Já no século IV a.C. o filósofo grego Platão, fundador da academia de Atenas, passou a estudar os cinco sólidos regulares, influenciado por Teaetetus, e associados pelos Pitagóricos a elementos da natureza (fogo, terra, ar e água). A deferência dos Pitagóricos por um deles, o dodecaedro, levou Platão a considerá-lo como o símbolo do universo. As 12 faces pentagonais do dodecaedro regular representam, nesta acepção, tanto os meses do ano como os 12 signos do Zodíaco e, em cada uma dessas faces pode ser inscrito um pentagrama regular. Outras propriedades geométricas do dodecaedro, em grande parte ligadas à secção de ouro, refletem a ordem e a harmonia do cosmo, justificando sua escolha como símbolo do universo (Modernamente, a física das altas energias comprovou que qualquer forma de matéria (com massa > 0) é constituída por 12 diferentes tipos de partículas elementares, exatamente tantas quantas são as faces do dodecaedro)

           Reconhecidamente esta pesquisa histórica indica que a metafísica pitagórica tinha uma veneração particular para os números ímpares. A perfeição dos números triangulares era assegurada pela relação entre eles e o triângulo equilátero, símbolo da tetraktys (o triângulo perfeito) e da perfeição divina. No entanto, o cinco, em especial, se relaciona com a seção áurea, com o pentágono e o pentáculo (pentagrama) e não existem, senão, cinco poliedros regulares convexos.

As ideias de Platão sobre os poliedros regulares foram registradas no Timaeus,  possivelmente o nome de um Pitagórico que servia como interlocutor principal. Não se sabe ao certo se Timaeus de Locri existiu ou se foi um personagem criado por Platão. De toda sorte, os poliedros regulares são, ainda hoje, designados como “corpos cósmicos” (ao hexaedro, Platão correspondia a Terra, ao tetraedro, associava o Fogo, cuja natureza penetrante está simbolizada na agudeza dos seus vértices. O octaedro foi associado ao Ar e o icosaedro à Água. O quinto sólido, o dodecaedro, foi considerado por Platão como o símbolo do Universo.) ou “sólidos platônicos”. Para Platão, todo sólido é limitado por superfícies que podem ser simplificadas para superfícies planas compostas de triângulos. Deste modo compôs os polígonos regulares através de triângulos escalenos definidos pelas diagonais e mediatrizes de cada face regular, obtendo o triângulo equilátero, o quadrado, e o pentágono regular.

Embora o Timaeus seja a mais antiga evidência da associação entre os quatro elementos da natureza com os sólidos regulares; certamente muito dessa história deve-se aos pitagóricos. Ploclus (séc. V a.C.) atribui a construção das figuras cósmicas a Pitágoras; mas, para Scridas, Teaetetus, amigo de Platão, foi o primeiro a escrever sobre eles. Posteriormente, Euclides de Alexandria, 360-295 a.C, escreveu sobre os poliedros regulares no Livro XI dos seus “Elementos”, e às suas propriedades dedica o Livro XIII. Nesse último livro Euclides afirma que somente três dos sólidos regulares eram devidos aos pitagóricos, e que foi através de Teaetetus, que o octaedro e o icosaedro se tornaram conhecidos.

Dando um salto no tempo, apenas em 1525 d.C., Albretch Dürer, planificou os poliedros platônicos e utilizou a projeção ortogonal para representá-los, projetando-os segundo os seus eixos de simetria. No século XIX, o princípio da dualidade de Poncelet (1788-1867), além de outras bases da Geometria Projetiva tornaram possível entender outras características destes sólidos, possibilitando a sua mais simples representação no plano.

No século XVIII, Leonhard Euler (1707-1783), matemático e físico suíço, estudou vários ramos da matemática pura e aplicada. Entre seus estudos demonstrou o talvez mais conhecido teorema para a área: a soma do número de vértices com o número de faces excede em duas unidades o número de arestas de um poliedro que seja homeomorfo (Dois espaços topológicos dizem-se homeomorfos se existir uma aplicação entre esses espaços que seja contínua, invertível e a sua inversa seja contínua) à esfera.

Definição1: Um poliedro é chamado poliedro de Platão se, e somente se, satisfaz as seguintes condições:

1)    todas as faces têm o mesmo número (n) de arestas,

2)    todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número (m) de arestas,

3)    vale a relação de Euler (V+F=A+2).

Definição2: Um poliedro convexo é regular quando:

1)    suas faces são polígonos regulares e congruentes,

2)    seus ângulos poliédricos são congruentes.

Definição3: Chamamos de tetraedro regular ao poliedro que tem por faces quatro triângulos equiláteros congruentes.

Propriedades: O tetraedro é considerado o poliedro platônico de mais simples representação. Reveste-se, entretanto, de características peculiares que lhe fornecem rigidez (A estrutura do diamante é constituída de átomos de carbono puro dispostos nos quatro vértices de um tetraedro e um único no seu centro. Devido a essa disposição geométrica, o diamante é bastante compacto. Possui alta densidade 3,5g/cm³ e é a substância natural mais dura que se conhece) ímpar em relação a qualquer transformação, visto que é limitado por triângulos equiláteros e, apenas quatro, constituindo-se no menor arranjo tridimensional possível entre formas geométricas regulares convexas.

1)     é inscritível numa esfera,

2)    num tetraedro regular, a soma das distâncias de um ponto interior qualquer às quatro faces é igual à altura do tetraedro.

EIXO DE SIMETRIA: Particularmente, possui eixos de simetria de apenas duas ordens: binária e ternária. A projeção, ou vista binária, é obtida em um plano perpendicular a uma reta que passa pelos pontos médios de duas arestas não adjacentes. É um exemplo típico de simetria rotacional aresta-aresta.

Na representação, figura 2; observamos dois triângulos semelhantes (ABC e ABD), com um lado comum (AB). Esta é outra maneira de se verificar a simetria pela projeção. Notamos ainda que, qualquer que seja a medida da aresta do tetraedro, (AB) e (CD) corresponderá á sua verdadeira grandeza (figura 2).

Composto por quatro triângulos equiláteros reunidos três a três na composição dos seus ângulos sólidos, o tetraedro apresenta quatro vértices e seis arestas. Considerando que o eixo de simetria binária é aresta-aresta, neste caso, é simples concluir a existência de apenas três pares de arestas não adjacentes; ou seja, três eixos de simetria binária, o que é a metade do número de arestas.

fig 2

Já a simetria rotacional ternária, embora a princípio distinta da “regra” para os demais poliedros platônicos, corrobora o princípio da dualidade no espaço. Passando o eixo de vértice a face, teremos um eixo de ordem Ternária. A face considerada, paralela ao plano de projeção por ser perpendicular ao eixo, é projetada em verdadeira grandeza; ou seja, um triângulo equilátero (figura 2). As três demais faces são projetadas como triângulos isósceles semelhantes. Uma vez que o número de vértices é igual ao número de faces, é possível se obter o mesmo número de eixos de ordem ternária no tetraedro; ou seja, quatro. Em relação à regra referida, destacamos que um eixo de ordem binária e um de ordem ternária, no tetraedro, não são perpendiculares entre si. Deste modo, não é possível passar de uma vista para a outra, diretamente, já que o plano de projeção para a segunda vista, em simetria, deve ser perpendicular ao eixo e ao plano de projeção da primeira vista (figura 3).  

fig 3

ÁREA: A área total do tetraedro é a soma das áreas dos quatro triângulos equiláteros de lado a. Então:

VOLUME: Considerado como um caso particular de pirâmide regular de base triangular, o volume do tetraedro é dado pela expressão matemática:

SECÇÕES DE CORTES: Como já visto, o tetraedro tem apenas dois eixos de simetria: binário, passando pelo ponto médio de duas arestas opostas e o ternário, que vai de um vértice ao centro da face oposta. Se o tetraedro é seccionado perpendicularmente em relação ao eixo ternário, dá origem a triângulos equiláteros, qualquer que seja a altura da secção em relação à base. Quando seccionado perpendicularmente ao eixo binário dá origem a retângulos que variam conforme a altura do corte, incluindo o quadrado, obtido quando a forma é seccionada na altura média entre as arestas opostas.

fig 4

fig 5

Enviado por Isadoralmeida em 04-05-2011

Para saber Mais

BOYER, Carl B. História da Matemática, 2ª edição. Editora Edgard Blücher. São Paulo, 1996.

DOLCE, Osvaldo. Pompeo, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar, volume 10, em 11 volumes, 5ª edição. Editora Atual. São Paulo, 1995.

MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática – Na Escola do Segundo Grau, volume 2, em 3 volumes. Editora Atual S/A. São Paulo, 1998.

Universidade de Coimbra

The British Museum

WikiPédia

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