HISTÓRIA DA CONTAGEM

Imagem extraída de Imagens Engraçadas

Uma Breve História da Contagem

"A Teoria das Probabilidades no fundo não é mais do que o bom senso traduzido em cálculo; permite calcular com exatidão aquilo que as pessoas sentem por uma espécie de instinto ... É notável que tal ciência, que começou nos estudos sobre jogos de azar, tenha alcançado os mais altos níveis do conhecimento humano " Pierre Simon (Marquês de Laplace)

Desde a antiguidade o homem vem se preocupando com problemas sobre contagem e com as questões que envolvem o acaso. No século III a.C., o matemático Arquimedes (287 - 212 a.C.) que nasceu em Siracusa, na ilha da Sicília, ocupou-se do jogo Stomachion que tinha por objetivo saber de quantas formas suas partes menores poderiam formar o mesmo quadrado, tendo como resposta 17.152 vezes. Na idade média, o judeu Rabbi Abraham Ben Meir Ezra que nasceu,  em Toledo em 1090, na atual Espanha e morreu; provavelmente em Roma em 1167, dedicou-se à poesia, gramática, astrologia e matemática. Suas atividades relacionadas às previsões astrológicas; pode tê-lo tornado um dos precursores da Teoria das Probabilidades.

Da necessidade que o homem teve em calcular maneiras seguras de ganhar em certos jogos de azar, tais como: baralhos, dados e moedas, o levou a desenvolver técnicas que, atualmente, são bases para muitos ramos do conhecimento. Em 1494 o frade italiano Luca Pacioli (1445 – 1514) apresentou um trabalho intitulado Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita que trata de aritmética, álgebra, geometria euclidiana elementar e contabilidade. Na Summa, Pacioli propôs o “problema dos pontos” ou “problema da divisão”, no qual pede para se determinar, com base no resultado parcial, uma distribuição justa das apostas num jogo de azar interrompido. O também italiano Girolamo Cardano (1501 - 1576) contribuiu com trabalhos sobre jogos de azar. Cardano publicou Liber de ludo aleae (O livro dos jogos de azar) por volta de 1560 que é o primeiro trabalho organizado que apresenta número de hipóteses, cálculo de expectativas e previsões acerca de jogos de dados. Ele desenvolveu profundamente as técnicas de contagem de combinações dando base ao estudo da Probabilidade.

No século XVII, os problemas ligados aos jogos, continuaram a ocupar os matemáticos, como os franceses Pierre de Fermat (1601 - 1665) e Blaise Pascal (1623 - 1662) que sistematizaram a Análise Combinatória. Em 1654, George Brossin (1607-1684), Chevalier (cavaleiro) de Méré, que foi cortesão de Luís XIV propôs a Pascal o problema dos dados e o da divisão dos pontos. Como Pascal e Fermat desenvolviam trabalhos através de correspondências, Pascal relatou os problemas a Fermat, chegando ambos a solucioná-los. Numa das cartas, Pascal propõe a Fermat uma questão que seu amigo Méré havia-lhe proposto: “Em oito lances de um dado um jogador deve tentar lançar um, mas depois de três tentativas infrutíferas o jogo é interrompido. Como deveria ele ser indenizado?”. Esse trabalho é considerado o marco de fundação da Teoria Matemática da Probabilidade e isso levou às ideias  – de um século atrás – de Cardano ao esquecimento.

Embora nem Pascal nem Fermat tenham publicado seus resultados, definiram conceitos como expectativa, chance e média, além de estabelecerem técnicas de contagem e estatística de incidência de casos num dado fenômeno. Ainda no século XVII, o holandês Christian Huygens (1629 - 1695) publicou um trabalho, intitulado De Ratiociniis in Ludo Aleae (O Raciocínio nos Jogos de Dados), no qual apresentou contribuições ao estudo das Probabilidades. Paralelamente a isso, o suíço Jakob Bernouilli (1654 - 1705), propôs um teorema onde afirmava: “A probabilidade de um evento ocorrer tende a um valor constante quando o número de ensaios desse evento tende ao infinito”.

Pascal havia ligado o estudo das probabilidades com o triângulo aritmético, levando a discussão tão mais longe que Cardano que o arranjo triangular a partir daí é conhecido como triângulo de Pascal. O próprio triângulo tinha mais de 600 anos, mas Pascal descobriu algumas propriedades novas, por exemplo: “Em todo triângulo aritmético, se duas células são contíguas na mesma base, a superior está para a inferior como o número de células desde a superior até o topo da base está para o número de células da inferior, até o ponto mais baixo inclusive.”.

Ainda no século XVII, O desenvolvimento do binômio (a+b)ⁿ está entre os primeiros problemas estudados e ligados à Análise Combinatória. O inglês Isaac Newton (1642 - 1727) foi físico-matemático que muito contribuiu para a ciência de base para a tecnologia do mundo moderno. As contribuições de Newton incluíram a Teoria da Gravitação Universal, sistematizou as Leis da Dinâmica (as Leis do Movimento), sistematizou a Óptica e concebeu a Teoria das Cores. Além disso, como era dotado de habilidade manual, construiu complexos instrumentos científicos, em particular telescópios e lentes. No campo da Matemática, suas contribuições de suma importância foram os Cálculos: Integral e Diferencial (1666), mas também se ocupou do Cálculo Numérico, Séries Infinitas, Álgebra, estudos sobre Curvas e Leis da Potenciação, isto é, Binômio de Newton.

            Por volta de 1664 – 1665 quando estava com apenas 22 anos investigou as Regras de Potenciação de Binômios, generalizando para expoentes fracionários e negativos o que pelo menos Cardano, o também italiano Niccolò Fontana, conhecido como Tartaglia, (1499 - 1557) e Pascal já conheciam relativamente a potências inteiras e positivas. A prova deste teorema nunca foi publicada e sua análise só foi escrita em 1669 e publicada em 1711 com o nome “De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas”. Este trabalho ficou conhecido como Teorema Binomial, que é uma generalização do Triângulo de Pascal.

            Teorema Binomial

            A expansão da expressão da forma (a+b)ⁿ, nos fornece a seguinte sequência (n є N  e a,b є R):

n = 0 → (a+b)⁰ = 1

n = 1 → (a+b)¹ = 1.a + 1.b

n = 2 → (a+b)² = 1.a² + 2.a.b + 1. b²

n = 3 → (a+b)³ = 1.a³ + 3.a².b + 3.a.b² + 1.b³

n = 4 → (a+b)⁴ = 1.a⁴ + 4.a³.b + 6.a².b² + 4.a.b³ + 1.b⁴

n = 5 → (a+b)⁵ = 1.a⁵ +5.a⁴.b + 10.a³.b² + 10.a².b³ + 5.a.b⁴ + 1.b⁵

  .

  .

  .

Note que esta expressão vem do Triângulo de Pascal

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

            Newton observou que o triângulo de Pascal que gera os coeficientes de uma expressão na forma (a+b)ⁿ, também poderia gerar os coeficientes de uma expressão na forma (a+b)^m/n e (a+b)^-n, então passou a trabalhar com a expressão 

(1+ x)^1/2 =  √1+x  e (1+x)^-3 = 1/(1+x)³ 

       Desta forma, ele conseguiu generalizar o Teorema Binomial, anunciado em duas cartas, a primeira datada de 13 de junho de 1676, escrita ao então secretário da Royal Society, Henry Oldenburg (1615?-1677), a carta era endereçada ao alemão  Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) em resposta a um pedido de informações do trabalho sobre séries infinitas. Na segunda carta, datada de 24 de outubro do mesmo ano, Newton deu detalhes de como chegou à série binomial. Newton não passou diretamente do triângulo de Pascal para o Teorema Binomial, mas indiretamente de um problema de quadratura para o Teorema Binomial.

        Posteriormente a esses fatos, o desenvolvimento da Análise Combinatória se fez através dos trabalhos de matemáticos renomados como Bernouilli, que foi um dos primeiros matemáticos a se ocupar da probabilidade, tendo a publicação de seu livro: Ars Conjectandi (Arte de Conjeturar) ocorrido, postumamente, em 1713, Leibnitz , o francês Abraham de Moivre (1667 - 1754) que publicou “Doctrine of Chances” em 1718 onde se encontra muito material sobre a Teoria das Probabilidades, o suíço Leonhard Euler (1707 - 1783) se ocupou por expectativa de vida, loterias e por o valor de uma anuidade, trabalhos publicados na revista Memoiren (Memórias) da Academia de Berlim, o francês Pierre Simon – marques de Laplace – (1749 - 1827) que publicou “Théorie Analytique des Probabités” (Teoria Analítica das Probabilidades), o alemão Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) o russo Pafnuti L. Tchebycheff (1821 - 1894), o russo Andrei Andreyevitch (1856 - 1922), o russo Andrey N. Kolmogorov (1903-1987) e muitos outros que se ocuparam de problemas probabilísticos.

Na Teoria das Probabilidades podemos encontrar muitos problemas interessantes, alguns dos quais apresentam resultados inesperados ou paradoxais que levam às discussões filosóficas sobre o que é o acaso e o que são probabilidades. Um problema interessante, muito conhecido, é chamado problema da agulha de Buffon (Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon (1707 – 1783), naturalista francês): Considere uma área plana, dividida em faixas de larguras iguais, a, por retas paralelas. Lance sobre esta região, ao acaso, uma agulha de comprimento 2r, com 2r < a. Qual a probabilidade de que a agulha corte uma das paralelas?

Atualmente, a Análise Combinatória e a Teoria das Probabilidades são capítulos de extrema importância na Matemática.  Suas aplicações estão presentes em muitos ramos da Matemática, como a Estatística (a inferência estatística, delineamento dos experimentos científicos, a correlação entre variáveis), a Geometria Combinatória, a Álgebra, a Teoria dos Grafos (que estuda as relações binárias em um conjunto enumerável) e a Lógica.  A Combinatória e a Probabilidade são também muito aplicadas na Programação de Computadores, na Economia, na Biologia Molecular, na Cristalografia (ciência que estuda os cristais e as leis que regem sua formação) Engenharia (controle de qualidade da produção industrial, Teoria das Filas, Teoria da Informação, Teoria do Risco), Física (Teoria dos Erros Experimentais, Probabilidades na Física Estatística, Probabilidades na Física Quântica), Química, Teoria dos Jogos Estratégicos, Psicologia e na Sociologia. Historicamente, a Análise Combinatória foi concebida para solucionar os problemas dos jogadores de jogos de azar, no entanto o seu advento evoluiu tanto que foi axiomatizado rigorosamente que se transformou num Sistema Matemático Dedutivo.

PARA SABER MAIS

BOYER, Carl B. História da Matemática, 2ª edição. Editora Edgard Blücher. São Paulo, 1996.

GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências, 2ª edição. Editora Livraria da Física. São Paulo, 2007.

GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas, 3ª edição. Editora Livraria da Física. São Paulo, 2009.

CONTADOR, Paulo Roberto Martins. Matemática, uma breve história, em 3 volumes, volume 2, 2ª edição. Editora Livraria da Física, 2006.

EVES, Howard, Introdução à História da Matemática. Editora UNICAMP. São Paulo, 2004.

CONCEITO E HISTÓRIA DA PROBABILIDADE

SÓ MATEMÁTICA: HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

INFOESCOLA: ANÁLISE COMBINATÓRIA

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