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quinta-feira, 22 de novembro de 2012

ÁREAS DE REGIÕES POLIGONAIS - CONSIDERAÇÕES







ÁREAS DE REGIÕES POLIGONAIS

PRINCIPAIS

CONSIDERAÇÕES

         Polígono é uma figura geométrica formada por uma linha poligonal (vários ângulos) fechada.
          Superfície é um conjunto de pontos que limita uma porção do espaço.
       Superfície ou região poligonal é a reunião dos limites do polígono com sua região interior.
          Área é a porção limitada de um espaço bidimensional.
          A área da superfície de um polígono é expressa por um número real positivo.

          Definição 1: Um polígono é um polígono convexo, se e somente se, a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer deixa todos os demais vértices num mesmo semiplano dos dois que ela determina.

          Observação: Se um polígono não é convexo, diremos que ele é um polígono côncavo.




            Definição 2: Um polígono convexo é regular, se, e somente se, tem todos os seus lados dois a dois congruentes e todos os seus ângulos dois a dois congruentes.

          Definição 3: Um quadrilátero é um retângulo se, somente se, possui os quatro ângulos internos congruentes entre si.

 Cada ângulo interno de um retângulo é reto. Num retângulo as diagonais são congruentes (AC BD).

          Teorema 1: A área de um retângulo é o produto das medidas de dois de seus lados não paralelos.

          
          Definição 4: Um quadrilátero é um losango se, somente se, possui os quatro lados congruentes entre si.

          Num losango as diagonais são perpendiculares entre si (AC BD) e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos cujos vértices unem.

           Teorema 2: A área de um losango é a metade do produto de suas diagonais.

          Dem.: Seja um losango ABCD em que a diagonal maior mede d1 e a diagonal menor mede d2. Tracemos pelos vértices do losango, paralelas às suas diagonais, assim encontraremos o retângulo MNPQ. Note que, a área do losango ABCD é a metade da área do retângulo MNPQ, cuja base mede d1 e a altura d2. Portanto, escrevemos  AL = [(d1.d2)/2].

Definição 5: Um quadrilátero é um quadrado se, e somente se, possui os quatro ângulos internos congruentes entre si e os quatro lados congruentes entre si.

Note que todo quadrado é retângulo e losango, desta forma, valem para ele as propriedades do retângulo e do losango.
Portanto, dado um quadrado de lado a, podemos calcular sua área
    AQ = a . a AQ = a2, visto que é um caso particular de retângulo.

Definição 6: Um paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.

Teorema 4: A área de um paralelogramo é o produto de qualquer uma de suas bases pela altura correspondente.

Dem.: Seja o paralelogramo ABCD com base AB. Note que, se traçarmos uma semireta com origem em C fazendo um ângulo de 90˚ com o prolongamento da base do paralelogramo, obteremos um retângulo. Observe que a base do paralelogramo é igual a base do retângulo e que a medida da altura do paralelogramo é igual à altura do retângulo. Assim, a área do paralelogramo é equivalente à área do retângulo. Portanto,
                              AP = b . h

Teorema 6 : A área de um triângulo é a metade do produto de qualquer de seus lados pela altura correspondente.

 Dem.: Seja o triângulo ABC com altura h e base b. Tracemos uma semi reta paralela ao lado AB com origem em C, e tracemos uma semi reta paralela ao lado BC com origem em A. Desta forma, obtemos um paralelogramo ABCD. Como a diagonal AC divide o paralelogramo em dois triângulos congruentes, temos que a área do paralelogramo é igual a soma das áreas do triângulo um com o triângulo dois. Como os triângulos são congruentes, então eles têm a mesma área, logo
                    Área do Triângulo 1 + Área do Triângulo 2 = Área Paralelogramo
                    T1 T2   Área Triângulo 1 = Área Triângulo 2
                    (2 . Área do Triângulo) = (Área do Paralelogramo)
                              Área do Triângulo = (área do paralelogramo/2)
                    Mas como a área do paralelogramo é base vezes altura, portanto temos
                                         AT  = [(b.h)/2]


Definição 7: O quadrilátero que possui somente dois lados paralelos é chamado de trapézio.

          Os trapézios são classificados em três tipos: trapézio isósceles (os lados não paralelos são congruentes e os ângulos das bases são congruentes), trapézios retângulos (um de seus lados não paralelos é perpendicular às bases) e trapézios escalenos (os lados não paralelos não são congruentes e nenhum ângulo interno é reto).

          Teorema 6: A área de um trapézio é a metade do produto de sua altura pela soma de suas bases.
          Dem.: Seja o trapézio ABCD e sejam b1 = DC e b2 = AB as bases do trapézio e seja h a sua altura. Se traçarmos uma diagonal de A até C o trapézio fica dividido em dois triângulos. Como a área do triângulo AT =(b.h)/2, logo temos
      ATR = AT1 + AT2 =[(b1.h)/2]+[(b1.h)/2] = (½(b1+b2)h)


Área de um Polígono Regular com n lados


Seja n o número de lados do polígono, l a medida do lado do polígono, a a medida do apótema e 2p a medida do perímetro. Podemos decompor esse polígono em n triângulos de base l e altura a. Desta forma, a área de cada triângulo é At = (l.a)/2 e como n.l = 2p, temos: Apol = n . At, então
          Apol = n(l.a)/2) Apol = [(2 . p . a) / 2 ]    Apol = p . a

          Definição 8: Sejam A um ponto e r um número real positivo. Definimos a circunferência de centro A e raio r, como sendo o conjunto de todos os pontos do plano que estão à mesma distância r do ponto A.
         
          Observação: A união de uma circunferência com seu interior é chamada região circular fechada ou círculo.


Teorema 7: A área de um círculo C de raio r é dada por C = πr2.

Dem.:Seja um círculo de centro O e raio r. Se considerarmos um polígono regular inscrito de n lados e de apótema a, fazendo n crescer indefinidamente, a superfície do polígono cresce também, mantendo-se menor que o círculo. Quando o polígono cresce, ele se aproxima da circunferência do mesmo modo que o apótema a se aproxima do raio r.
          Então, podemos dizer que o perímetro 2p do polígono aproxima-se da medida 2πr da circunferência. Portanto, a área do círculo é:
            S= [(2p . a ) / 2]  →  Sc = [( 2π.r.r) / 2]   Sc = π r2



Para Saber Mais:


REZENDE, Eliane Quelho Frota. QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas, 2ª edição – Campinas, São Paulo. Editora da Unicamp, 2008.

DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar, 7ª edição, volume 9 em 11 volumes. Editora Atual. São Paulo, 1995.




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