ÁREAS DE REGIÕES POLIGONAIS - CONSIDERAÇÕES

ÁREAS DE REGIÕES POLIGONAIS

PRINCIPAIS

CONSIDERAÇÕES

         Polígono é uma figura geométrica formada por uma linha poligonal (vários ângulos) fechada.

          Superfície é um conjunto de pontos que limita uma porção do espaço.

       Superfície ou região poligonal é a reunião dos limites do polígono com sua região interior.

          Área é a porção limitada de um espaço bidimensional.

          A área da superfície de um polígono é expressa por um número real positivo.

          Definição 1: Um polígono é um polígono convexo, se e somente se, a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer deixa todos os demais vértices num mesmo semiplano dos dois que ela determina.

          Observação: Se um polígono não é convexo, diremos que ele é um polígono côncavo.

            Definição 2: Um polígono convexo é regular, se, e somente se, tem todos os seus lados dois a dois congruentes e todos os seus ângulos dois a dois congruentes.

          Definição 3: Um quadrilátero é um retângulo se, somente se, possui os quatro ângulos internos congruentes entre si.

 Cada ângulo interno de um retângulo é reto. Num retângulo as diagonais são congruentes (AC ≡ BD).

          Teorema 1: A área de um retângulo é o produto das medidas de dois de seus lados não paralelos.

          

          Definição 4: Um quadrilátero é um losango se, somente se, possui os quatro lados congruentes entre si.

          Num losango as diagonais são perpendiculares entre si (AC ┴ BD) e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos cujos vértices unem.

           Teorema 2: A área de um losango é a metade do produto de suas diagonais.

          Dem.: Seja um losango ABCD em que a diagonal maior mede d₁ e a diagonal menor mede d₂. Tracemos pelos vértices do losango, paralelas às suas diagonais, assim encontraremos o retângulo MNPQ. Note que, a área do losango ABCD é a metade da área do retângulo MNPQ, cuja base mede d₁ e a altura d₂. Portanto, escrevemos  A_L = [(d1.d2)/2].

Definição 5: Um quadrilátero é um quadrado se, e somente se, possui os quatro ângulos internos congruentes entre si e os quatro lados congruentes entre si.

Note que todo quadrado é retângulo e losango, desta forma, valem para ele as propriedades do retângulo e do losango.

Portanto, dado um quadrado de lado a, podemos calcular sua área

    A_Q = a . a → A_{Q =} a², visto que é um caso particular de retângulo.

Definição 6: Um paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.

Teorema 4: A área de um paralelogramo é o produto de qualquer uma de suas bases pela altura correspondente.

Dem.: Seja o paralelogramo ABCD com base AB. Note que, se traçarmos uma semireta com origem em C fazendo um ângulo de 90˚ com o prolongamento da base do paralelogramo, obteremos um retângulo. Observe que a base do paralelogramo é igual a base do retângulo e que a medida da altura do paralelogramo é igual à altura do retângulo. Assim, a área do paralelogramo é equivalente à área do retângulo. Portanto,

                              A_P = b . h

Teorema 6 : A área de um triângulo é a metade do produto de qualquer de seus lados pela altura correspondente.

 Dem.: Seja o triângulo ABC com altura h e base b. Tracemos uma semi reta paralela ao lado AB com origem em C, e tracemos uma semi reta paralela ao lado BC com origem em A. Desta forma, obtemos um paralelogramo ABCD. Como a diagonal AC divide o paralelogramo em dois triângulos congruentes, temos que a área do paralelogramo é igual a soma das áreas do triângulo um com o triângulo dois. Como os triângulos são congruentes, então eles têm a mesma área, logo

                    Área do Triângulo 1 + Área do Triângulo 2 = Área Paralelogramo

                    T₁ ≈ T₂  → Área Triângulo 1 = Área Triângulo 2

                    (2 . Área do Triângulo) = (Área do Paralelogramo)

                              Área do Triângulo = (área do paralelogramo/2)

                    Mas como a área do paralelogramo é base vezes altura, portanto temos

                                         A_T  = [(b.h)/2]

Definição 7: O quadrilátero que possui somente dois lados paralelos é chamado de trapézio.

          Os trapézios são classificados em três tipos: trapézio isósceles (os lados não paralelos são congruentes e os ângulos das bases são congruentes), trapézios retângulos (um de seus lados não paralelos é perpendicular às bases) e trapézios escalenos (os lados não paralelos não são congruentes e nenhum ângulo interno é reto).

          Teorema 6: A área de um trapézio é a metade do produto de sua altura pela soma de suas bases.

          Dem.: Seja o trapézio ABCD e sejam b₁ = DC e b₂ = AB as bases do trapézio e seja h a sua altura. Se traçarmos uma diagonal de A até C o trapézio fica dividido em dois triângulos. Como a área do triângulo A_T =(b.h)/2, logo temos

      A_TR = A_T1 + A_T2 =[(b1.h)/2]+[(b1.h)/2] = (½(b1+b2)h)

Área de um Polígono Regular com n lados

Seja n o número de lados do polígono, l a medida do lado do polígono, a a medida do apótema e 2p a medida do perímetro. Podemos decompor esse polígono em n triângulos de base l e altura a. Desta forma, a área de cada triângulo é A_t = (l.a)/2 e como n.l = 2p, temos: A_pol = n . A_t, então

          A_pol = n(l.a)/2) A_pol = [(2 . p . a) / 2 ]  →  A_pol = p . a

          Definição 8: Sejam A um ponto e r um número real positivo. Definimos a circunferência de centro A e raio r, como sendo o conjunto de todos os pontos do plano que estão à mesma distância r do ponto A.

         

          Observação: A união de uma circunferência com seu interior é chamada região circular fechada ou círculo.

Teorema 7: A área de um círculo C de raio r é dada por C = πr².

Dem.:Seja um círculo de centro O e raio r. Se considerarmos um polígono regular inscrito de n lados e de apótema a, fazendo n crescer indefinidamente, a superfície do polígono cresce também, mantendo-se menor que o círculo. Quando o polígono cresce, ele se aproxima da circunferência do mesmo modo que o apótema a se aproxima do raio r.

          Então, podemos dizer que o perímetro 2p do polígono aproxima-se da medida 2πr da circunferência. Portanto, a área do círculo é:

            S_c  = [(2p . a ) / 2]  →  S_c = [( 2π.r.r) / 2] →  S_c = π r²

Para Saber Mais:

REZENDE, Eliane Quelho Frota. QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas, 2ª edição – Campinas, São Paulo. Editora da Unicamp, 2008.

DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar, 7ª edição, volume 9 em 11 volumes. Editora Atual. São Paulo, 1995.

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