A semelhança é um conceito
natural e intuitivo. Figuras “parecidas” ou “que têm a mesma forma” são ditas
semelhantes. Todavia, vamos estabelecer o conceito matemático de semelhança de
triângulo, porém, vamos ver antes como e onde este conceito foi concebido.
AS
DESCOBERTAS GEOMÉTRICAS DE TALES DE MILETO
As pirâmides egípcias são monumentos
grandiosos. A técnica empregada em sua construção até hoje fascina o homem.
A Pirâmide Quéops, no Egito, foi construída
cerca de 2500 a.C. Considerada uma das sete maravilhas do mundo antigo, ela tem
aproximadamente 150 m de altura. Sua base é um quadrado, cujos lados medem
cerca de 230 m.
Certa
vez, o matemático e filósofo grego Tales apresentou-se ao Rei Amasis, do Egito,
oferecendo-se para calcular a altura de uma pirâmide, sem escalar o monumento.
Tales
percorreu as areias quentes do deserto e, nas proximidades da pirâmide, fincou
uma estaca no chão. E concluiu que, no momento em que o comprimento da sombra
da estaca fosse igual ao comprimento da própria estaca, a altura da pirâmide
seria igual ao comprimento da sombra da pirâmide mais metade da medida da base.
Com
esse método, Tales inaugurou o processo de medida indireta, largamente usado
até hoje em Astronomia e para medir distâncias de locais inacessíveis.
Tales
também previu o eclipse (Obscurecimento
total ou parcial de um astro pele interposição de um corpo celeste entre ele e
o observador ou entre o astro e o Sol que o ilumina.) do Sol, ocorrido no
dia 28 de maio de 585 a.C.; criou um método para calcular a largura de um rio e
um método para calcular a distância de um barco que se aproxima.
A
Tales são atribuídas as seguintes descobertas geométricas:
A IDEIA DE SEMELHANÇA
A palavra semelhante quer dizer parecido.
Mas, na Geometria, essa palavra tem um significado mais preciso. Por exemplo,
dois mapas mundi, sendo um ampliação do outro,
na Geometria, dizemos que esses mapas são figuras semelhante, devido aos dois mapas terem exatamente a mesma
forma, embora seus tamanhos sejam diferentes.
Na Geometria, a palavra semelhante está ligada à idéia de mesma forma. Assim, uma ampliação, uma
redução e até mesmo uma congruência são exemplos de semelhança.
Trataremos de um caso especial de
semelhança:
A Semelhança de Triângulos
Consideremos o seguinte problema:
Uma moeda de 2 cm de diâmetro, colocada a 2 m dos olhos, cobre
exatamente a Lua cheia. Sabe-se que a Lua está a uma distância de 300.000 km da
Terra, aproximadamente. Com estes dados, você é capaz de calcular o diâmetro da
Lua?
Observando
o desenho acima, vamos desdobrá-lo em duas figuras geométricas:
Observe
que as duas figuras possuem a mesma “forma”, embora tenham tamanhos
“diferentes”. Essas figuras são denominadas figuras semelhantes.
Definição:
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem
os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.
∆ABC ~ ∆A´B´C´ ↔ Â
≡ ´, B ≡ B´, C ≡ C´ e a/a´= b/b´= c/c´
Dois lados homólogos (homo =
mesmo, logos = lugar) são tais que cada um deles está em um dos triângulos e
ambos são opostos a ângulos congruentes.
São homólogos os lados:
BC
e B´C´ (opostos aos ângulos  e ´)
AC
e A´C´ (opostos aos ângulos B e B´)
AB e A´B´ (opostos
aos ângulos C e C´)
Razão
de Semelhança
Seja K a
razão de semelhança entre os lados homólogos, então
a/a´=
b/b´= c/c´ = K, K
é chamado razão de semelhança dos triângulos.
Se K = 1, os
triângulos são congruentes.
Ex_1.
Seja ∆ABC e ∆A´B´C´ triângulos
semelhantes. Os lados do segundo têm medidas A´B´ = 3 cm, A´C´ = 7 cm e B´C´ =
5 cm. A medida do lado AB do primeiro é 6 cm, vamos obter a razão de semelhança
dos triângulos e os outros dois lados do primeiro triângulo.
Solução:
∆ABC ~ ∆A´B´C´ à a/a´= b/b´= c/c´à a/5 = b/7 = 6/c = 2
Como
a razão de semelhança é 2, segue que
a/5
= b/7 = 2 à
a/5 = 2 à
a = 10 e b/7 = 2 à
b = 14
Portanto,
BC = 10 cm e AC = 14 cm.
Propriedades:
Da
definição de triângulos semelhantes verifica-se facilmente que a semelhança é
uma relação de equivalência, pois possui as propriedades:
i)
Reflexiva: ∆ABC ~ ∆ABC
ii)
Simétrica: ∆ABC ~ ∆RST ↔ ∆RST ~ ∆ABC
iii)
Transitiva: ∆ABC ~ ∆RST, ∆RST ~ ∆XYZ → ∆ABC ~ ∆XYZ
Teorema Fundamental:
Se
uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois
lados em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao
primeiro.
Hipótese Tese
DE
// BC → ∆ADE ~ ∆ABC
Demonstração
Para
provarmos a semelhança entre ∆ADE e ∆ABC, precisamos provar que eles têm
ângulos ordenadamente congruentes e lados homólogos proporcionais. Assim:
1º
Os ângulos são congruentes
DE
// BC → D ≡ B e E ≡ C (ângulos correspondentes), então temos: D ≡ B, E ≡ C e Â
comum (i)
2º
Lados correspondentes são proporcionais
Pelo
Teorema de Tales temos:
Por E construímos EF paralela a AB, com F
em BC.
A
figura obtida BDEF (acima) é um paralelogramo, pois os lados são paralelos
DE
≡ BF à
AE / AC = DE / BC à
pelo Teorema de Tales
Segue
que, AD / AB = AE / AC = DE / BC ii.
Ex_2.
Um triângulo ABC tem os lados AB = 12 cm, AC = 13 CM e BC = 15 cm. A reta DE
paralela ao lado BC do triângulo determina um triângulo ADE, em que DE = 5 cm.
Calcule AD = x e AE = y.
Solução:
Aplicando o Teorema Fundamental, vem:
DE // BC à ∆ADE ~ ∆ABC à x/12 = y/13 = 5/15 à x = 4 e y = 13/3
Portanto,
AD = 4 cm e AE = 13/3 cm
Casos
ou Critérios de Semelhança:
a. Caso
Ângulo Lado Ângulo
Se
dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são
iguais.
b. Caso
Lado Ângulo Lado
Se
dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e
os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
c. Caso
Lado Lado Lado
Se
dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são
semelhantes.
Observações:
Com
base nos casos de semelhança, podemos ter os resultados seguintes:
Se
a razão de semelhança de dois triângulos é K, então:
a razão entre lados homólogos é K;
a razão entre os perímetros é K;
a razão entre as alturas homólogas é
K;
a razão entre as medianas homólogas é
K;
a razão entre as bissetrizes internas homólogas
é K;
a razão entre os raios dos círculos
inscritos é K;
a razão entre os raios dos círculos
circunscritos é K;
.
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a razão entre dois elementos lineares homólogos
é K;
e os ângulos homólogos são
congruentes.
Para Saber Mais:
DOLCE, Osvaldo. POMPEO, Nicolau José. Fundamentos de Matemática Elementar - Geometria Plana, vol 9 - Atual Editora, 1995.
FACCHINI, Walter. Matemática volume Único - 2ª edição. Editora Saraiva, 1997.
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