QUADRADOS MÁGICOS
No estudo de Álgebra Linear,
especificamente espaços vetoriais, é comum se trabalhar com as matrizes de
ordem nxn na resolução de sistemas de equações. Alguns autores, porém antes de
introduzir e definir espaços vetoriais e subespaços, definem quadrado mágico:
Uma matriz M, nxn, é dita quadrado mágico se a soma dos elementos em ambas as
diagonais, em cada linha e em cada coluna é a mesma. Definição de David Poole professor
do Departamento de Ciência da Computação, da Universidade de British Columbia.
Os chineses antigos tinham por hábito recreativo os
quadrados mágicos. Segundo uma lenda antiga estes artefatos matemáticos foram
trazidos para os homens por uma tartaruga que nadava no Rio Lo nos tempos do
Imperador Yii, Segundo a história, ele era um engenheiro hidráulico. Um dos
livros chineses mais antigos de matemática é o Chui-Chang Suan ou Nove Capítulos
sobre a Arte Matemática, nele está resolvido o sistema de equações lineares
simultâneas, que em notação moderna fica:
3x + 2y + z = 39
|
2x + 3y + z = 34
|
x + 2y + 3z = 26
|
Efutuando as operações
elementares nas colunas da matriz
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
chega-se
a
0 0 3
0 5 2
36 1 1
99 24 39
E ainda tem um segundo modo para a solução que em notação
moderna fica: 36z = 99, 5y + z = 24 e 3x + 2y + z =39, onde se calcula
facilmente os valores de z, y e x.
Quadrado
Mágico Lo Shu
versão
islâmica
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||||||
٤
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٩
|
٢
|
=
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4
|
9
|
2
|
٣
|
٥
|
٧
|
3
|
5
|
7
|
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٨
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١
|
٦
|
8
|
1
|
6
|
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Lo Shu
versão hebraica
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||||||
ט
|
=
|
9
|
||||
ג
|
ה
|
ז
|
3
|
5
|
7
|
|
א
|
1
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|||||
Imagem extraída Wikipédia
Na gravura acima, intitulada Melancolia I de 1514 do artista e matemático
alemão Albrecht Dürer (1471-1528) aparece um quadrado mágico pendurado na
parede no canto superior direito, assim expresso:
16
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3
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2
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13
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5
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10
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11
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8
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9
|
6
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7
|
12
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4
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15
|
14
|
1
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Note que a soma dos números em ambas as diagonais, em
cada linha e em cada coluna é a mesma, que é 34. Observe também que os
elementos do quadrado são os números inteiros 1, 2, 3, ..., 16. Dürer foi perspicaz
por colocar os números 15 e 14 lado a lado proclamando assim a data da gravura.
O enviado de Luis XIV à corte do Sião, em 1687, Simon de la
Loubère (1642-1729) apresentou um método simples para formar quadrados mágicos de ordem
ímpar. La Loubère era amigo do matemático alemão Gottfried Leibniz e tinha
grande interesse por filosofia e matemática. A pergunta era: “Quantos quadrados
mágicos existem em cada ordem?”. Não existe quadrado mágico de ordem 2, isto é
fácil verificar. De ordem 3 existe somente um, o Lo Shu, no entanto encontram-se
oito disposições diferentes se
utilizarmos simetrias em relação às diagonais do quadrado e rotações em torno
do centro. Existem 880 quadrados mágicos de ordem 4, mas se fizermos rotações e
simetrias teremos 7040 disposições diferentes. O problema ainda não está
resolvido para o caso de quinta ordem, porém é sabido que o número ultrapassará
treze milhões.
17
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24
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1
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8
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15
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23
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5
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7
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14
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16
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4
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6
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13
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20
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22
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10
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12
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19
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21
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3
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11
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18
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25
|
2
|
9
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Para Saber Mais:
VELOSO, Eduardo. Viana, José
Paulo. Um Cubo Primo (Desafios VI). Editora EDITEC, 2008.
POOLE, David. Álgebra Linear
– Linear Algebra: A Modern Introduction. Editora Thomson, 2004.
BOYER, Carl B. História da Matemática (A History Of
Mathematics, 1991 – Tradução: Elza F.Gomide), 2a edição. Editora
Blucher Ltda, São Paulo, 1996.
Imagem extraída do sítio Universidade de Coimbra
א ב ג ד ה ו ז ח ט
۹
۸ ۷ ۶ ۵ ۴ ۳ ۲ ۱
