Diz-se que uma
circunferência é orientada quando nela se fixa um sentido positivo de percurso.
Convencionou-se, em trigonometria, como sentido positivo o sentido contrário ao
do movimento dos ponteiros do relógio, dito sentido anti-horário. Assim, é
natural chamar o sentido negativo por sentido horário. A todo arco de uma circunferência orientada
chama-se orientado.
Note que a cada arco orientado AB, onde A é a origem e B
é o ponto extremo, está associado um número real α, que é a sua medida. O
módulo de α é o comprimento do arco orientado.
Quando a origem e a extremidade de um arco são
coincidentes diz-se que o arco é nulo.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais
xOy no plano, denomina-se Circunferência Trigonométrica ou Ciclo Trigonométrico a circunferência orientada de
centro na origem do sistema, de raio unitário r = 1 e sentido positivo ou
anti-horário.
O Ciclo Trigonométrico é dividido em quatro partes iguais
chamadas quadrantes. As retas x e y que são os eixos do sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais xOy que estabelecem esta divisão.
Observe que os quadrantes do Ciclo Trigonométrico
apresentam variações em graus e em radianos. Veja a figura abaixo.
REPRESENTAÇÃO
DE UM ARCO
NA
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Tabela 1
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ARCOS DE MEDIDAS º
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60º+360º
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60º-360º
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têm a mesma extremidade do arco de 60º
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60º+2 x 360º
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60º-2 x 360º
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60º+3 x 360º
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60º-3 x 360º
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⁞
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⁞
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60º+n x 360º
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60º-n x 360º
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Portanto se diferem apenas pelo número de voltas inteiras
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Tabela 2
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ARCOS DE MEDIDAS rad
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π/3 + 2π
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π/3 - 2π
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têm a mesma extremidade do arco de π/3 rad
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π/3 + 2 x 2π
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π/3 – 2 x 2π
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π/3 + 3 x 2π
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π/3 – 2 x 2π
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⁞
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⁞
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π/3 + n x 2π
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π/3 - n x 2π
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Portanto se diferem apenas pelo número de voltas inteiras
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Pelas observações da tabela 1 e tabela 2, defini-se: dois
arcos são côngruos ou congruentes se têm a mesma extremidade e se diferem pelo
número de voltas inteiras. Note que arcos de medidas
⁞
60º - 2 x 360º
60º - 1 x 360º
60º
60º + 1 x 360º
60º + 2 x 360º
⁞
são arcos côngruos e podem
ser expressos por 60º + k.360º, k ɛ Z. Também /arcos de medidas
⁞
π/3 – 2 x 2π
π/3 – 1 x 2π
π/3
π/3 + 1 x 2π
π/3 + 2 x 2π
⁞
são arcos congruentes e
podem ser expressos por π/3 + k.2π, k ɛ Z.
Portanto se um arco mede α graus, a expressão geral dos
arcos congruentes a ele é αº + k.360º, k ɛ Z; e se um arco mede α radianos, a
expressão geral dos arcos côngruos a ele é α + 2kπ, k ɛ Z.
Aplicação:
Partindo do ponto A, um móvel percorreu um arco de 1860º.
Quantas voltas completas ele deu e em que quadrante parou?
Solução: Divide 1860º por
360º, assim obtém-se o quociente igual a 5 e resto igual a 60.
Portanto, o móvel deu 5 voltas completas no sentido
anti-horário. Observe que 0º < 60º < 90º, então o móvel parou no primeiro
quadrante.
Para Saber Mais:
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar
– Trigonometria – volume 3, 7ª edição. Editora Atual, São Paulo, 1995.
GIOVANNI, José Ruy.
BONJORNO, José Roberto. Matemática 1 – Conjuntos, Funções, Trigonometria.
Editora FTD, São Paulo, 1992.
.
α +
2kπ
