Algumas Questões
Considere três pontos A, B e C, não
colineares, chama-se triângulo ABC à reunião (ΔABC = AB U AC U BC) dos
segmentos AB, AC e BC. Notado por ABC = ΔABC.
Duas figuras são congruentes se elas possuem a mesma forma e o mesmo tamanho.
1) Teorema do Triângulo Isósceles: Se um triângulo é isósceles, os ângulos da base
são congruentes.
Hipótese Tese
(∆ABC, AB ≡ AC) → B
≡ C
Dem.:
Dados
ABC e ACB triângulos. Associe a A, B e C, respectivamente, A, C e B.
Como
AB ≡ AC
BÂC ≡ CÂB
AC ≡ AB, sendo AC do triângulo ABC e
AB do triângulo ACB.
Então
∆ABC ≡ ∆ACB.
Portanto
B ≡ C ■
***
2) Se dois triângulos têm
ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então
esses triângulos são congruentes.
Hipótese Tese
(B ≡
B´ (I), BC ≡ B´C´ (II), C ≡ C´ (III)
→ ∆ABC´ ≡ ∆A´B´C´
Dem.:
Pelo
Postulado do Transporte de Segmentos (Dados um segmento AB e uma
semi-reta de origem A´, existem sobre esta semi-reta um único ponto B´tal que
A´B´ seja congruentes a AB.), obtemos na semi-reta B´A´ um ponto X
tal que B´X ≡ BA (IV)
Assim,
(II) BC ≡ B´C´, (I) B ≡ B´, (IV) BA ≡ B´X.
Então
∆ABC ≡ ∆XB´C´ → BCA ≡ B´C´X (V)
Da
hipótese (III) BCA ≡ B´CA´, com (V) BCA ≡ B´CX e com o Postulado do Transporte
de Ângulos (Dados um ângulo AOB e uma semi-reta O´A´de um plano,
existe sobre este plano, e num dos semiplanos que O´A´ permite determinar, uma
única semi-reta O´B´ que forma com O´A´ um ângulo A´O´B´congruente ao ângulo
AOB.), decorre que B´A´ e
C´X = C´A´ interceptam-se num único ponto X = A´.
De X
≡ A´, com (IV), vem que B´A´≡ BA.
Então
BA ≡
B´A´, B ≡ B´ e BC ≡ B´C´.
Logo,
∆ABC ≡ ∆A´B´C´ ■
***
3) As medianas relativas aos
lados congruentes de um triângulo isósceles são congruentes.
Hipótese Tese
AB =
AC, BM e CN são medianas → BM = CN
Dem.:
Sejam
BAM e CAN triângulos.
Se BA = CA
A
= A
AM = NA
Então
∆BAM ≡ ∆CAN
Logo,
BM = CN ■
***
4) Se dois triângulos
retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses
triângulos são congruentes.
Hipótese Tese
A ≡
A´(retos)(I), AB ≡ A´B´(II), BC ≡ B´C´(III)
→ ∆ABC ≡ ∆A´B´C´
Dem.:
Tome o ponto D na
semi-reta oposta à semi-reta A´C´ tal que A´D ≡ AC (Postulado do Transporte de
Segmento).
AB ≡ A´B´, A ≡ A´, AC ≡ A´D
daí ∆ABC ≡ ∆A´B´D então BC ≡ B´D(IV) e C ≡ D(V)
De (IV) e (III) vem B´C´ ≡
B´D então ∆B´C´D é isósceles de base C´D → C´≡ D (VI)
De (V) e (VI) → C ≡ C´
Considere os triângulos ABC e A´B´C´,
tem-se que:
BC ≡ B´C´, C ≡ C´, A ≡ A´.
***
Nota:
Todos os Triângulos
Isósceles não são congruentes
Equiláteros não são congruentes
Retângulos não são congruentes
Retângulos isósceles não são congruentes
Acutângulos não são congruentes
***
Para Saber Mais:
FACCNINI, Walter. Matemática
volume único, 2ª edição – 1997 – Editora Saraiva
DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José
Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar, volume 9 – 1995 – Editora Atual.
Δ trilátero ⍢
