DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES
Dados
dois números reais positivos a e b, com a ǂ 1, existe um único número real x
tal que ax = b. A x chama-se Logaritmo de b na base a e indica-se loga
b.
Simbolicamente, escreve-se:
⍱ b > 0, a > 0 e a ≠ 1
ax
= b ⟺
x = loga b
Sendo a a base
do logaritmo
b é o logaritmando ou antilogaritmo
x é o logaritmo de b na base a.
Consequências da Definição:
Sejam a,
b e c números positivos, com a ≠ 1 e
m um número real. Então
1)
loga 1 = 0, pois loga
1 = x ∴
ax = 1 ∴ x =
0
2)
loga a = 1, loga a
= x ∴ ax = a ∴ x = 1
3)
loga am = m, pois loga
am = x ∴ ax
= am ∴ x = m
4)
alogab
= b, pois fazendo loga b = x, temos ax = b
5)
loga b = loga c ⇔ b = c. Note que loga b = logc
= x ∴ ax = b e ax = c.
Logo, b = c.
Propriedades Operatórias dos Logaritmos
1)
Logaritmo do Produto: Em qualquer base a (sendo a > 0 e a ǂ 1). De um produto de
dois números positivos é igual à soma dos logaritmos, nessa base, dos fatores.
Se a
> 0, a ǂ 1, b > 0 e c > 0, então loga (b.c) = loga
b + loga c
Solução: Fazendo loga b = x e loga
c = y, temos ax = b e ay = c. Substituindo em loga
(b.c), resulta loga (b.c) = loga (ax.ay)
= loga ax+y = x + y = loga b + loga
c.
Note que não se trata de uma
propriedade totalmente nova, mas de outro modo de escrever a propriedade de
potências, em que o expoente do produto de potências de mesma base é obtido
somando-se os expoentes de cada uma das potências dos fatores.
2)
Logaritmo do Quociente: Em qualquer base a
(sendo a > 0 e a ǂ 1), de um quociente de dois números positivos é igual à
diferença entre os logaritmos, nessa base, do indivíduo e do divisor.
Se a
> 0, a ǂ 1, b > 0 e c > 0, então loga b/c = loga
b – loga c
Solução: Fazendo loga b = x e loga
c = y, temos ax = b e ay= c. Substituindo em loga
em loga b/c, resulta loga b/c = loga ax/ay
= loga ax-y = x – y = loga b – loga
c.
Neste caso também se trata
de outro modo de escrever a propriedade de potências, onde o expoente do
quociente de potências de mesma base é obtido subtraindo-se os expoentes de
cada uma das potências envolvidas no quociente.
3)
Logaritmo de Potência: Em qualquer base a (a
> 0, a ǂ 1), de uma potência de base positiva e expoente real é igual ao
produto do expoente pelo logaritmo, na base a, da base dessa potência.
Se a
> 0, a ǂ 1, b > 0 e m ⋲ R,
então loga bm = m . loga
b
Solução: Fazendo loga b = x, temos b = ax.
Substituindo em loga bm, resulta loga bm = loga
(ax)m = loga amx = mx = m . loga
b
Este foi outro modo de escrever a propriedade envolvida
em potência de potência.
Caso Particular
Para Saber Mais:
FACCHINI, Walter. Matemática – Volume Único, Editora
Saraiva, São Paulo, 2000
IEZZY, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos.
Fundamentos de Matemática Elementar – Logaritmos. Editora Saraiva, São Paulo,
1996.
loga 1 = 0
