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quinta-feira, 23 de agosto de 2012

ANÁLISE COMBINATÓRIA - TÉCNICAS DE CONTAGEM


Análise Combinatória e Probabilidade. IMPA – Morgado, Pitombeira, Carvalho, Fernandez. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1991.




Não adie dificuldades”  
Augusto César de Oliveira Morgado



TÉCNICAS DE CONTAGEM


         A aula virtual de Combinatória do professor Paulo Cezar do Instituto de Matemática Pura e Aplicada – IMPA - baseada no livro Temas e Problemas - consiste em mostrar as diferenças existentes entre os Corolários decorrentes do Princípio Fundamental da Contagem, e sobre tudo fazer o aluno a raciocinar e não mecanizar o aprendizado através de fórmulas que não satisfazem todos os casos que poderão ocorrer.
           Antes de iniciar a aula, o professor Paulo Cezar faz um pequeno discurso, defendendo que “... só faz sentido, no Ensino Médio, um estudo fortemente baseado nos problemas.”.  Visando orientar os alunos a não cometerem erros tradicionais no aprendizado de Análise Combinatória, ele reforça dizendo que “aprendemos Matemática usando pouco, a nossa capacidade para raciocinar”. Aprendemos no automático, através de fórmulas, uma vez que os professores agem deste modo. Ele encerra o discurso dizendo “... uma das coisas mais básicas quando começa a nossa vida Matemática é contar e operar com as quatro operações”. 
Nos livros de Matemática do Ensino Médio, de modo geral, o capítulo referente à Análise Combinatória refere-se às Técnicas de Contagem como Permutações Simples, Combinações Simples e Arranjos Simples, no entanto o professor Cezar, em sua aula defende que Permutações Simples e Combinações Simples são os problemas necessários para a vida escolar; todo o resto, arranjo e arranjo com repetição, são desnecessários.
Considerando que a pesquisa feita para a realização deste trabalho, toma como referência três livros, citados na bibliografia, decidimos definir Arranjos e mostrar um exemplo tal como aparece nos livros.
Todos os exercícios, a partir da seção de exercícios, apresentados neste trabalho, foram observados e retirados da aula virtual do professor Paulo Cezar.




1.    Introdução

            A Análise Combinatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações discretas, na qual estudamos as técnicas de contagem de agrupamentos que podem ser feitos com elementos de um dado conjunto. São basicamente dois tipos de agrupamentos que podemos formar: um em que se leva em conta a ordem dos elementos dentro do agrupamento e outro onde a ordem dos elementos é irrelevante.
 Por exemplo, se desejarmos contar quantas placas de licença de automóveis podem ser feitas, construídas por 3 letras seguidas de 4 algarismos, devemos levar em conta a ordem das letras e dos algarismos:

                        ALO 1964      e          LOA 1946      são placas diferentes.

            Da necessidade que o homem teve em calcular maneiras seguras de ganhar em certos jogos de azar, tais como: baralhos, dados e moedas, o levou a desenvolver técnicas que, atualmente, são bases para muitos ramos do conhecimento. Por exemplo, se o nosso problema for contar quantas senas são possíveis de ser sorteadas na loteria de números, ou seja, loto; observamos que a ordem dos números que compõem o jogo da sena não importa:

            01, 02, 03, 04, 05, 06 e 05, 03, 06, 01, 02, 04 são senas iguais.

            Estes exemplos servem para mostrar que é importante termos uma técnica de contagem indireta, isto é, na qual não precisamos escrever um por um dos elementos e depois contá-los. Isso, em geral, além de ser muito laborioso, pode nos levar a erro por omissão ou por repetição de algum agrupamento.
            A Análise Combinatória é aplicada em diversos tópicos da Matemática. Particularmente, na Matemática, aplicamos na Teoria das Probabilidades e no desenvolvimento do Binômio de Newton (Sir Isaac Newton (1642-1727) físico e matemático inglês). É também útil em outros campos do conhecimento, como a Economia, a Biologia Molecular, a Programação de Computadores, A Geometria Combinatória, A Teoria dos Grafos e em muitos outros campos do conhecimento.
            Vamos começar com o seguinte problema:

1.1. O Princípio Fundamental da Contagem:
            Imaginemos que para ir de uma cidade α para uma cidade β existem três estradas: a, b e c, e de β para γ existem duas: 1 e 2.

                                       a                                       
                                                                               1
                        α            b                     β                        γ   
                                                                                2
                                     c                                                       
                                                                                          


            Para ir de α a γ, passando por β, podemos optar por um entre 6 caminhos:
              
            α                  a               β             1           γ
                                   
           α                  a               β             2           γ
                                                                 
           α                  b               β             1           γ
                                                         
            α                  b               β             2            γ
                                                          
            α                  c                β            1            γ
                                                         
            α                  c                β            2            γ
                                                         
                                  

Podemos também representar esses caminhos num esquema como o seguinte, que denominamos árvore de possibilidades:


α            β           γ





1
*
____________






a1



*







2







*
____________


a



a2


















1
*
____________






b1

0
b
*














2
*
____________






b2









c









*
____________




1

c1



*







2







*
____________






c2









                                  

                                                                                                                                                                                                                                                                             
            A ida de α para γ consta de duas etapas: a primeira, de α para β, pode ser realizada de 3 modos, sendo que para cada um deles a segunda etapa, de β para γ, pode ser realizada de 2 modos. A realização das duas etapas sucessivamente pode ser feita de 3 . 2 modos, que correspondem aos 6 caminhos de α para γ.

            Princípio Fundamental da Contagem:
                       
            Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, a segunda pode ser feita de n modos, então o número de modos de realizar a ação é m. n.

            Esse princípio pode ser generalizado para ações compostas de mais de duas etapas. Por exemplo: Quantos números naturais pares, de três algarismos distintos, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8.

            Solução: Formar um número par formado por três algarismos distintos é uma ação composta de três etapas sucessivas, sendo que a primeira é escolher o algarismo das unidades, que deve ser par (há 4 possibilidades: 2, 4, 6 ou 8). Eliminando o algarismo escolhido, sobram 7 possibilidades para a escolha do 2º em seguida 6 possibilidades para a escolha do 3º algarismo.

7 x 6 x 4 = 168
                       
1.2. Permutações Simples:

            Com os símbolos ∞, ♫ e Ώ podemos formar as seguintes secessões:

            (∞, ♫, Ώ), (∞, Ώ, ♫), (♫, ∞, Ώ), (♫, Ώ, ∞), (Ώ, ∞, ♫), (Ώ, ♫, ∞)

            Cada uma dessas sucessões é chamada permutação dos três símbolos.

            Denominamos permutação de n elementos dados a toda sucessão de n termos formada com os n elementos dados.
           
            Duas permutações dos mesmos objetos são diferentes se a ordem dos objetos numa delas é diferente da ordem em que os objetos estão colocados na outra.
            As permutações são representadas utilizando parênteses e separando os termos por vírgula ou ponto e vírgula (em sequências). Por exemplo, formar os anagramas (anagramas são ‘palavras’ formadas com as mesmas letras da palavra dada. Tais ‘palavras’ podem não ter significado em nenhum idioma) das palavras: SUE e PEPE.
            Solução:
                        Para a palavra SUE, os anagramas são:

                        SUE, SEU, USE, UES, ESU, EUS;

e para a palavra PEPE, temos:

            PEPE, PEEP, PPEE, EPPE, EPEP, EEPP.

1.2.1.  Quantidade de Permutações:

Nas aplicações, geralmente estamos interessados na quantidade de permutações que podem ser feitas com determinados elementos. Para determinar o número de permutações não é necessário que façamos uma por uma e depois as contemos, pois esse procedimento, às vezes, pode ser inviável.

            Permutações de Elementos Distintos:

Vejamos quantas permutações podem ser formadas com as letras A, M, P, S e T. Formar uma dessas permutações é uma ação composta de cinco etapas sucessivas:

1ª etapa: escolher a primeira letra da permutação. Ela pode ser A ou M ou P ou S ou T. Há, portanto, 5 possibilidades para cada etapa.

2ª etapa: escolher a segunda letra da permutação. Para cada possibilidade da primeira etapa teremos 4 possibilidades nesta segunda etapa, uma vez que uma das letras já terá sido eliminada. Por exemplo, se a primeira letra escolhida foi S, então a segunda letra poderá ser A ou M ou P ou T.

3ª etapa: escolher a terceira letra da permutação. Para cada par de letras já escolhidas anteriormente teremos 3 possibilidades nesta terceira etapa. Note que, se escolhermos S e A, a terceira letra poderá ser M ou P ou T.

4ª etapa: escolher a quarta letra da permutação. Então há 2 possibilidades para cada escolha das três letras anteriores.

5ª etapa: colocar a quinta letra da permutação. Agora temos única possibilidade para cada escolha das 4 primeiras letras.

                        possibilidades à  5  x  4  x  3 x  2  x  1  = 120

            Pelo princípio fundamental da contagem, concluímos que podemos formar 5 x 4 x 3 x 2 x 1 permutações diferentes, isto é, existem 120 permutações das cinco letras A, M, P, S e T, ou ainda de cinco objetos diferentes quaisquer.

Definimos fatorial de n como o produto dos n números naturais consecutivos de 1 até n. Denotado por n!, isto é, fatorial de n ou n fatorial.

Simbolicamente, escrevemos: n! = 1 . 2 . 3 . ... . (n – 2) . (n – 1) . n,  n ≥ 2, que é o modo de ordenar n objetos distintos.

           

Desta forma, se fizermos

            3! = 1. 2. 3= 6
4! = 1. 2. 3. 4 = 24.
            6! = 1. 2. 3. 4. 5. 6 = 720.
            7! = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7 = 5040.
            8! = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 = 40320 e assim por diante, note que

            4! = 3!.4
            5! = 4!.5
            6! = 5!.6
            7! = 6!.7
            8! = 7!.8  Isso nos leva a escrever n! = (n – 1)! . n
            Note ainda, que se n = 2, teremos 2! = (2 – 1)! . 2 que implica  2 = 1! . 2, logo, 1! = 1. Se tivermos n = 1, isso nos leva a 1! = (1 – 1)! . 1 que implica 1! = 0!. 1,  portanto, 0! = 1.
            Destas justificativas decorrem as definições: 0! = 1 e 1! = 1.

            Indicamos o número de permutações de n elementos diferentes por Pn. Temos, assim, que: Pn = n!
           
1.2.2.  Permutações com Elementos Repetidos:
            Vejamos agora quantas permutações podemos formar com elementos entre os quais há repetições. Com as letras A, A e M há 3 permutações apenas:
                        (A, A, M), (A, M, A) e (M, A, A)
se as letras A e A fossem distintas - por exemplo, A e A -, cada uma dessas permutações geraria duas permutações distintas:

              (A, A, M)                                (A, M, A)                                   (M, A, A)
     (A, A, M)                                   (A, M, A)                                     (M, A, A)
              (A, A, M)                                (A, M, A)                                   (M, A, A)

            Sabemos que o número de permutações de 3 elementos distintos é P3 = 3! = 6. Agora vemos que, se entre os 3 elementos tivermos 2 repetidos, esse número fica dividido por 2!, que é o número de permutações dos 2 elementos se eles forem considerados distintos. Indicamos o número de permutações de 3 elementos sendo 2 repetidos por 3P2 = 3!/2! = 3x2x1/2x1! = 3
            Tomemos agora um exemplo com 5 elementos, sendo 3 repetidos: ☼, ☼, ☼, ♀ e ♂. Cada permutação desses símbolos geraria 3! permutações se os ícones ☼, ☼ e ☼ fossem distintos:

   



                                                                       (☼, ☼, , ♀, ♂)
                                                                       (☼, , ☼, ♀, ♂)
                                                                       (☼, ☼, , ♀, ♂)
(☼, ☼, ☼, ♀, ♂)
                                                                       (☼, , ☼, ♀, ♂)
                                                                       (, ☼, ☼, ♀, ♂)
                                                                       (, ☼, ☼, ♀, ♂)



                         

Assim, o número de permutações desses 5 elementos é igual ao número de permutações obtidas se elas forem consideradas distintas divididos por 3!, ou seja:

                                               5P3 = 5!/3! = 5x4x3!/3! = 20                             



Possíveis permutações
(☼, ☼, ☼, ♀, ♂)
(☼, ☼, ♂, ♀, ☼)
(☼, ♂, ☼, ♀, ☼)
(♂, ☼, ☼, ☼, ♀)
(♂, ☼, ♀, ☼, ☼)
(☼, ☼, ☼, ♀, ♀)
(☼, ☼, ♀, ♂, ☼)
(☼, ♀, ☼, ♂, ☼)
(♀, ☼, ☼, ☼, ♂)
(♀, ☼, ♂, ☼, ☼)
(☼, ☼, ♂, ☼, ♀)
(☼, ♂, ☼, ☼, ♀)
(☼, ♂, ♀, ☼, ☼)
(♂, ☼, ☼, ♀, ☼)
(♂, ♀, ☼, ☼, ☼)
(☼, ☼, ♀, ☼, ♂)
(☼, ♀, ☼, ☼, ♂)
(☼, ♀, ♂, ☼, ☼)
(♀, ☼, ☼, ♂, ☼)
(♀, ♂, ☼, ☼, ☼)

            E se substituímos o sinal ♀ pelo ♂, isto é, considerarmos os sinais ☼, ☼, ☼, ♂ e ♂, as 20 permutações anteriores ficarão reduzidas a 10 apenas. Veja, por exemplo, que (☼, ☼, ☼, ♀, ♂) e (☼, ☼, ☼, ♂, ♀) ficarão iguais a (☼, ☼, ☼, ♂, ♂).
            Logo, o número de permutações ficará dividido por 2!. Indicamos a quantidade de permutações de 5 elementos, sendo 3 repetidos de um tipo e 2 repetidos de outro, por 5P3,2 . Temos:
                                         

5P3,2 = 5!/3!2! = 5x4x3! / 3! 2! = 10

            Quando temos n elementos dos quais n1 são repetidos de um tipo, n2 são repetidos de outro tipo, n3 são repetidos de outro tipo, e assim por diante, o número de permutações que podemos formar é dado por:

nPn1n2 ... nk = n! / n1! n2! ... nk! (n1 + n2 + ... + nk = n)
           
1.3. Combinações Simples

            Suponhamos que a professora Teresa dispõe de duas bolsas para o Mestrado em Estatística e decide sorteá-las entre os alunos que acertarem um problema que irá propor, premiando assim dois alunos. Imaginemos que quatro alunos acertem a pergunta: Aloyana, Suelen, Pedro e Monik. Os alunos premiados poderão ser:

            Aloyana e Suelen, ou Aloyana e Pedro, ou Aloyana e Monik, ou Suelen e Pedro, ou Suelen e Monik, ou Pedro e Monik.

            Cada uma dessas possibilidades é um agrupamento dos 4 alunos tomados 2 a 2. Em cada um desses agrupamentos, a ordem em que citamos os elementos não importa. Note que dar as bolsas para Suelen e Monik, ou dá-las para Monik e Suelen, é exatamente a mesma coisa. Quando agrupamos elementos de modo que em cada agrupamento não importa a ordem dos elementos, esses agrupamentos são chamados combinações. Na linguagem matemática, as combinações são conjuntos cujos elementos são escolhidos entre os elementos dados.

            Denominamos combinações de n elementos distintos tomados k a k aos conjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados.

            Tomando o exemplo acima, consideremos os elementos
           
Aloyana, Suelen, Pedro e Monik

Vamos escrever as combinações desses 4 elementos tomados 2 a 2:

{Aloyana, Suelen}, {Aloyana, Pedro}, {Aloyana, Monik},
{Suelen, Pedro}, {Suelen, Monik}, {Pedro, Monik}.

Observe que duas combinações são diferentes apenas quando têm elementos diferentes.
            As combinações são representadas utilizando chaves e separando os elementos por vírgula ou ponto e vírgula.

1.3.1.   Quantidade de Combinações:

            Representamos pelo símbolo Cn,k, ou pelo símbolo nCk, o número de combinações de n elementos tomados k a k.
            Para determinar essa quantidade de combinações, devemos lembrar que com k elementos distintos:

a1, a2, a3, ... , ak

podemos obter k! permutações:

(a1, a2, a3, ... , ak), (a2, a1, a3, ... , ak), (a3, a2, a2, ... , ak), ... .

            Isso significa que a partir de uma combinação podemos obter k! arranjos dos n elementos tomados k a k. Então, o número de combinações é igual ao número de arranjos dividido por k!:

nCk = An,k / k!
                                  

logo,

Cn,k  = n! / k!(n-k)!



1.4.        Arranjos

            Suponhamos agora que a professora Teresa tenha duas bolsas para o mestrado: uma para o Mestrado Acadêmico (Stricto Sensu) e a outra para o Mestrado Profissional (Lato Sensu) e anuncie que o primeiro aluno sorteado irá receber a bolsa para Lato Sensu e o segundo sorteado receberá a bolsa para Stricto Sensu. Nesse caso, se os alunos sorteados fossem Aloyana e Pedro, nessa ordem, Aloyana receberia a bolsa para Lato Sensu e Pedro a bolsa para Stricto Sensu. Mas, se os sorteados fossem Pedro e Aloyana, nessa ordem, Pedro receberia a bolsa Lato Sensu e Aloyana a bolsa Stricto Sensu.
            Agora nós temos uma situação em que os agrupamentos

Aloyana e Pedro e Pedro e Aloyana

são considerados agrupamentos diferentes. Portanto, ao citarmos o agrupamento, importa a ordem em que citamos os elementos.
            Quando agrupamos elementos de modo que em cada agrupamento importa a ordem dos elementos, esses agrupamentos são chamados arranjos. Na linguagem matemática, os arranjos são sucessões cujos termos são escolhidos entre os elementos dados.

            Denominamos arranjos de n elementos distintos tomados k a k às sucessões formadas de k termos distintos escolhidos entre os elementos dados.

            No exemplo citado, considere os elementos

Aloyana, Suelen, Pedro e Monik

Vamos escrever os arranjos desses 4 elementos tomados 2 a 2:

(Aloyana, Suelen), (Aloyana, Pedro), (Aloyana, Monik)
(Suelen, Aloyana), (Pedro, Aloyana), (Monik, Aloyana)
(Suelen, Pedro), (Suelen, Monik), (Pedro, Monik)
(Pedro, Suelen), (Monik, Suelen), (Monik, Pedro).

            Observe que dois arranjos são diferentes se tiverem elementos diferentes, ou se tiverem os mesmos elementos, porém em ordens diferentes. Os arranjos são representados colocando os elementos entre parênteses.

1.4.1.    Quantidade de Arranjos:

            Representamos pelo símbolo An,k , ou pelo símbolo nAk, o número de arranjos de n elementos tomados k a k.
            Para determinar essa quantidade de arranjos, imagine que vamos formar um deles, isto é, vamos formar uma sucessão de k termos escolhidos entre os n elementos dados:

(1º, 2º, 3º, ... , kº)

            O primeiro termo pode ser qualquer um dos n elementos dados; há, portanto, n possibilidades para ele.
            Para cada uma dessas possibilidades, o segundo termo do arranjo poderá ser qualquer um dos (n – 1) elementos restantes, excluindo aquele já escolhido. Há, portanto, (n – 1) possibilidades para o segundo termo.
            Para cada par de elementos já escolhidos, o terceiro termo poderá ser qualquer um dos (n – 2) elementos restantes. Há, portanto, (n – 2) possibilidades para o terceiro termo.
            E assim sucessivamente.

            arranjos:   (1º, 2º, 3º, ... , kº)

       possibilidades  n         n-1          n-2             n – (k – 1)

            Pelo princípio fundamental da contagem, concluímos que a quantidade de arranjos que podem ser formados é:
                        An,k  = n . (n – 1) . (n – 2) . ... . (n – (k – 1)) produto de k fatores       
                       
1.5.        Exercícios

A primeira questão proposta por Paulo Cezar diz: “Chapa com 4 pessoas. De quantos modos pode-se escolher um presidente e um vice?”  Esta é uma questão de combinação simples. Note que no conjunto = {A, B, C, D}, que representa as 4 pessoas,  não importa como os elementos são escolhidos; importa que eles são escolhidos dois a dois. Como para presidente temos 4 possibilidades e para cada vez que escolhemos um candidato nos restam 3 possibilidades para escolhermos um vice (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC), então pelo Princípio Fundamental da Contagem temos 4 x 3 = 12 possibilidades. Observação feita pelo professor: “embora a escolha do vice dependa do presidente, o número de possibilidades não depende”.
Na segunda questão temos: “Duas chapas uma com 4 e a outra com 5 membros. Qual o número de modos para presidente e vice?”. Neste caso, contaremos separadamente o número de candidatos e em cada chapa temos escolhas distintas. Então somamos o número de possibilidades das duas chapas que são conjuntos disjuntos:
Chapa  1:  4 x 3 = 12
Chapa 2:   5 x 4 =  20  → 12 + 20 = 32
Dando prosseguimento à aula, o professor Paulo Cezar enuncia Três Regras de Ouro” - propostas pelo professor Augusto César de Oliveira Morgado (1944-2006) - para resolver problemas de combinatória:
        Regra 1: Postura (coloque-se na posição de quem tem que formar um grupamento qualquer que queremos contar)
         Regra 2: Divisão do Processo em Etapas
         Regra 3: Princípio (não adiar dificuldades)


A terceira regra é ilustrada pelo seguinte problema: “Quantos são os números de 3 algarismos distintos?”. Colocando em prática as duas primeiras regras, vem: Analisando a questão, um número é fixado na casa das centenas. Como não temos números naturais começados por zero, então ele é descartado para esta, onde temos 9 possibilidades. Como já usamos um algarismo para a casa das centenas, nos restam 9, uma vez que o zero pode aparecer na casa das dezenas. Finalmente, para a casa das unidades nos restam 8 algarismos. Portanto, 9 x 9 x 8 = 648.
O professor observou que este problema não se enquadra nas fórmulas utilizadas para resolver problemas de contagem, devido às restrições que o problema apresenta. É viável resolver este problema a partir da casa das centenas e não a partir da casa das unidades, por que não podemos usar o Princípio Fundamental de Contagem, uma vez que encontraremos resultado incompatível e estaremos dificultando a solução.
Apresenta os problemas de Permutação Simples e Combinação Simples e conclui que estes são os problemas importantes que os alunos deveriam conhecer e que as escolas deveriam parar por aqui em temos de técnica de ensino de Contagem. Todo o resto, arranjo e arranjo com repetição, são desnecessários.
Propõe um problema de permutação simples para ilustrar o raciocínio: “De quantos modos n pessoas podem ser colocadas em fila?” Acrescenta ele, que este problema poderia ser proposto perguntando quantos anagramas? ou quantas bijeções? Para solucionar o problema, ele usa o mecanismo de preencher os espaços, chegando ao princípio da Fatorial:

            ____    ____   ____   ... ____
                         n       n – 1   n – 2   ...   1       →   Pn = n (n – 1) ... 1 = n!

Concluindo que é um absurdo os livros apresentarem a Fatorial como primeiro assunto apresentando exercícios não correspondentes com a realidade e mais adiante reaparece para resolver questões mais difíceis.
            Dando sequência, é apresentado um problema de combinação simples que pergunta: “De quantos modos pode-se escolher uma comissão formada por 3 algarismos numa turma de 20” Como não há cargos fixos, mas para facilitar a solução vamos considerar que haja, então temos:
                       

A / 20 .B / 19. C / 18

                        
Mas a comissão BAC é a mesma, então precisamos contar a mais e fazer uma correção nesta contagem. Neste caso, a comissão é um conjunto de 3 pessoas e precisamos ordenar as 3. Cada comissão é contada 3! = 6 vezes, então o número de comissão é:

20 x 19 x 18 / 6

            O professor, conclui que este tipo de problema é extremamente difícil.


Para encerar a aula é proposto um problema que apresenta certas dificuldades para solucioná-lo: “Com 4 homens e 3 mulheres. Queremos comissão de 3 pessoas, sendo pelo menos uma mulher”. Como se pode ter ou 3 mulheres ou 2 mulheres ou 1 mulher e devemos ter 20C3 lê-se número de combinação de 20 elementos tomados 3 a 3. Expressões do tipo: pelo menos, no mínimo, no máximo sempre indicam que quem está tentando resolver o problema vai ter trabalho.    

nCp = n(n-1) ... (n-p+1) / p!

se tivermos 1 mulher só teremos 2 homens
se tivermos 2 mulheres só teremos 1 homem
se tivermos 3 mulheres não teremos nenhum homem
então para o 1º caso temos 3C1 . 4C2 = 3 x 6 = 18
então para o 2º caso temos 3C2 . 3C2 . 4C1  = 3 x 4 = 12
então para o 3º caso temos 3C3 =   1   → 18 + 12 + 1 = 31.

                         
Segundo o professor, provavelmente aparecerá alguém para resolver este problema de modo rápido e apresentará a seguinte solução: Escolher a mulher e como temos 3 modos para escolher a mulher, então fazemos
                        3 . 6C2. 15 = 45 que está errado.

Explique isso!

Explicação: O erro está em contar 3  mulheres tomadas 2 a 2 e contar, outra vez, 2 mulheres mais 4 homens tomados 2 a 2. E finalmente multiplicar os dois resultados. Como para solucionarmos problemas devemos dividi-lo em etapas, neste caso as etapas foram misturadas excedendo em 14 pessoas.
Portanto, os problemas de contagem apresentam particularidades muito sutis que exigem muita perícia de quem os analisa.



Saber Mais

MORGADO, Augusto César de Oliveira. PITOMBEIRA, João Bosco de Carvalho. CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. FERNANDEZ, Pedro. Análise Combinatória e Probabilidade. IMPA – Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1991.

FACCHINI, Walter. Matemática, Volume Único, 2ª edição. Editora Saraiva, 1997.

HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar volume 5 – Análise Combinatória, 6ª edição. Editora Atual, 1995.




Fundamentos de Matemática Elementar volume 5 – Análise Combinatória, 6ª edição. Samuel Hazzan.  Editora Atual, 1995.







Aula do professor Paulo Cezar - IMPA - 21-07-2010





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