ÁREAS DE REGIÕES POLIGONAIS
PRINCIPAIS
CONSIDERAÇÕES
Polígono
é uma figura geométrica formada por uma linha poligonal (vários ângulos)
fechada.
Superfície é um conjunto de pontos que
limita uma porção do espaço.
Superfície
ou região poligonal é a reunião dos limites do polígono com sua região interior.
Área é a porção limitada de um espaço
bidimensional.
A área da superfície de um polígono é
expressa por um número real positivo.
Definição 1: Um polígono é um polígono
convexo, se e somente se, a reta determinada por dois vértices consecutivos
quaisquer deixa todos os demais vértices num mesmo semiplano dos dois que ela
determina.
Observação: Se um polígono não é
convexo, diremos que ele é um polígono côncavo.
Definição
2: Um polígono convexo é regular, se, e somente se, tem todos os seus lados
dois a dois congruentes e todos os seus ângulos dois a dois congruentes.
Definição 3: Um quadrilátero é um
retângulo se, somente se, possui os quatro ângulos internos congruentes entre
si.
Cada ângulo interno de um
retângulo é reto. Num retângulo as diagonais são congruentes (AC ≡ BD).
Teorema 1: A área de um retângulo é o
produto das medidas de dois de seus lados não paralelos.
Definição 4: Um quadrilátero é um
losango se, somente se, possui os quatro lados congruentes entre si.
Num losango as diagonais são
perpendiculares entre si (AC ┴ BD) e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos cujos vértices
unem.
Teorema
2: A área de um losango é a metade do
produto de suas diagonais.
Dem.: Seja um losango ABCD em que a
diagonal maior mede d1 e a diagonal menor mede d2. Tracemos
pelos vértices do losango, paralelas às suas diagonais, assim encontraremos o
retângulo MNPQ. Note que, a área do losango ABCD é a metade da área do
retângulo MNPQ, cuja base mede d1 e a altura d2.
Portanto, escrevemos AL = [(d1.d2)/2].
Definição 5: Um quadrilátero é um quadrado se, e somente se, possui
os quatro ângulos internos congruentes entre si e os quatro lados congruentes
entre si.
Note que todo quadrado é retângulo e losango, desta forma, valem
para ele as propriedades do retângulo e do losango.
Portanto, dado um quadrado de lado a, podemos calcular sua área
AQ = a . a → AQ = a2,
visto que é um caso particular de retângulo.
Definição 6: Um paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados
opostos paralelos.
Teorema 4: A área de um
paralelogramo é o produto de qualquer uma de suas bases pela altura
correspondente.
Dem.: Seja o paralelogramo ABCD com base AB. Note que, se traçarmos
uma semireta com origem em C fazendo um ângulo de 90˚ com o prolongamento da base
do paralelogramo, obteremos um retângulo. Observe que a base do paralelogramo é
igual a base do retângulo e que a medida da altura do paralelogramo é igual à
altura do retângulo. Assim, a área do paralelogramo é equivalente à área do retângulo.
Portanto,
AP
= b . h
Teorema 6 : A área de um triângulo é a metade do produto de qualquer
de seus lados pela altura correspondente.
Dem.: Seja o triângulo ABC com altura
h e base b. Tracemos uma semi reta paralela ao lado AB com origem em C, e
tracemos uma semi reta paralela ao lado BC com origem em A. Desta forma,
obtemos um paralelogramo ABCD. Como a diagonal AC divide o paralelogramo em
dois triângulos congruentes, temos que a área do paralelogramo é igual a soma
das áreas do triângulo um com o triângulo dois. Como os triângulos são
congruentes, então eles têm a mesma área, logo
Área do Triângulo 1 + Área
do Triângulo 2 = Área Paralelogramo
T1 ≈ T2 → Área Triângulo 1 = Área Triângulo 2
(2 . Área do Triângulo) = (Área
do Paralelogramo)
Área do Triângulo
= (área do paralelogramo/2)
Mas
como a área do paralelogramo é base vezes altura, portanto temos
AT = [(b.h)/2]
Definição 7: O quadrilátero que possui somente dois lados paralelos
é chamado de trapézio.
Os
trapézios são classificados em três tipos: trapézio isósceles (os lados não
paralelos são congruentes e os ângulos das bases são congruentes), trapézios
retângulos (um de seus lados não paralelos é perpendicular às bases) e
trapézios escalenos (os lados não paralelos não são congruentes e nenhum ângulo
interno é reto).
Teorema
6: A área de um trapézio é a metade do produto de sua altura pela soma de suas
bases.
Dem.:
Seja o trapézio ABCD e sejam b1 = DC e b2 = AB as bases
do trapézio e seja h a sua altura. Se traçarmos uma diagonal de A até C o
trapézio fica dividido em dois triângulos. Como a área do triângulo AT =(b.h)/2, logo
temos
ATR
= AT1 + AT2 =[(b1.h)/2]+[(b1.h)/2] = (½(b1+b2)h)
Área de
um Polígono Regular com n lados
Seja n o número de lados do polígono, l a
medida do lado do polígono, a a
medida do apótema e 2p a medida do
perímetro. Podemos decompor esse polígono em n triângulos de base l e
altura a. Desta forma, a área de cada
triângulo é At = (l.a)/2 e como n.l = 2p, temos: Apol = n . At,
então
Apol
= n(l.a)/2)
Apol = [(2 . p . a) / 2 ] → Apol = p . a
Definição
8: Sejam A um ponto e r um número
real positivo. Definimos a circunferência de centro A e raio r, como sendo o
conjunto de todos os pontos do plano que estão à mesma distância r do ponto A.
Observação:
A união de uma circunferência com seu interior é chamada região circular
fechada ou círculo.
Teorema
7: A área de um círculo C de raio r é dada por C = πr2.
Dem.:Seja
um círculo de centro O e raio r. Se
considerarmos um polígono regular inscrito de n lados e de apótema a,
fazendo n crescer indefinidamente, a
superfície do polígono cresce também, mantendo-se menor que o círculo. Quando o
polígono cresce, ele se aproxima da circunferência do mesmo modo que o apótema a se aproxima do raio r.
Então, podemos dizer que o perímetro 2p
do polígono aproxima-se da medida 2πr da circunferência. Portanto, a área do
círculo é:
Sc = [(2p . a ) / 2] →
Sc = [( 2π.r.r) / 2] → Sc
= π
r2
Para Saber Mais:
REZENDE, Eliane Quelho Frota.
QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria Euclidiana Plana e Construções
Geométricas, 2ª edição – Campinas, São Paulo. Editora da Unicamp, 2008.
DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José
Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar, 7ª edição, volume 9 em 11
volumes. Editora Atual. São Paulo, 1995.
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