Imagem extraída do site SafeTech
DECIFRANDO NÚMEROS E CÓDIGOS
IN
A MÚSICA DOS NÚMEROS PRIMOS
“Se Gauss estivesse vivo hoje, seria um hacker”
Peter Sarnak,
professor da Universidade de Princeton
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No livro "A música dos Números Primos" (The Music Of The
Primes) Marcus Du Sautoy trata, usando linguagem narrativa, de uma das questões
mais investigadas da História da Matemática que vem desde meados do século XIX
ocupando as mentes ambiciosas e dando muito trabalho aos matemáticos de todas
as partes do planeta: A Hipótese de Riemann “é
possível uma harmonia entre esses números primos, à semelhança da harmonia
musical”, problema número 8 da lista contendo 23 problemas matemáticos propostos
pelo alemão David Hilbert (1862-1943) na Conferência Internacional de Matemáticos de Paris
em 1900 para anunciar o novo século.
A Música dos Números Primos é composto por 12 capítulos fascinantes
que vislumbram o universo dos Números Primos desde os dias de Euclides passando
pelos universos, através do espelho, de Euler, Gauss e Riemann, pelos desafios
de Hilbert, pela rigidez de Landau, pelas limitações do método matemático de Gödel,
pela mente milagrosa de Turing; até chegar a dificílima tarefa de implementar
um sistema eficiente que através da criptografia dê segurança ao mundo dos
negócios.
No capítulo 10 Decifrando Números
e Códigos, Du Sautoy aborda os conceitos matemáticos - introduzidos por Pierre
de Fermat (1601 - 1665) e por Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) - por trás da
criptografia utilizada atualmente em larga escala para proteger as vidas de
espiões como também o mundo público dos negócios. Aborda, também, o surgimento
da criptografia na internet inspirado pelo artigo “Novos Caminhos na Criptografia”, escrito pelos matemáticos Whit
Diffie e Martin Hellman ambos da Universidade de Stanford que motivou Ron
Rivest, cientista da computação do Instituto de Tecnologia de Massachusets –
MIT – a desenvolver, juntamente com os matemáticos Adi Shamir (israelense
visitante do MIT) e Leonard Adleman, também do MIT, sistemas de segurança com
intenção de despertar o interesse das grandes empresas.
No entanto, não foi muito fácil
ver o sonho de Diffie e Hellman realizado, pois havia um grande problema na
época, nos anos 1970, que era a fatoração de números de ordem muito grande,
isto é, por exemplo, desde o início da década de 1990, a técnica usada para se
proteger o número de um cartão de crédito durante uma compra pela internet
consiste em multiplicar dois números, com cerca de 60 algarismos, e encontrar
um terceiro número de até 120 algarismos. O interessante nisso é que os números
menores (que são dois números primos) são mantidos em segredo, sendo revelado
somente o número maior de difícil decomposição. Fatorar números muito grandes
não é tarefa trivial.
A maioria dos matemáticos não se interessava
pelo tema, pois o achavam de menor importância. À medida que o trio - Rivest, Shamir,
Adleman - se tornava comercialmente importante outros matemáticos começaram a
aceitar o desafio de decompor números cada vez maiores. O matemático Carl
Pomerance da Universidade da Georgia era fascinado, desde menino, por
decomposição de números e desenvolveu um método chamado de crivo quadrático
semelhante ao crivo de Erastótenes. O crivo quadrático foi utilíssimo no início
dos anos 1990. Com a chegada da internet os matemáticos Arjen Lenstra e Mark
Manasse perceberam que a internet aliada ao crivo quadrático seria a dupla
perfeita para derrubar o RSA 129 (número com 129 algarismos), que foi o desafio
proposto por Rivest, Shamir e Adleman, publicado no artigo de Martin Gardner da
Scientific American. Eis que em abril de 1994, Lenstra e Manasse anunciaram que
o RSA 129 havia sido derrubado utilizando-se centenas de computadores pessoais
ao longo de 24 países. Nisso consistia a beleza do crivo quadrático de
Pomerange, dividi a carga de trabalho, a procura de números primos, entre
muitos e diferentes computadores.
A diferença entre fazer compras pela
internet usando um computador pessoal veloz e com muita memória ou um telefone
celular ou um palmtop é justamente a potência entre o PC e o aparelho de
celular ou palmtop, pois estes últimos não são projetados para realizar grandes
cálculos. Uma vez que proteger um cartão de crédito, no momento de uma compra, é
necessário realizar cálculos com números muito grandes (multiplicar dois
números com cerca de 60 algarismos) e isso requer grande poder de processamento
e memória, o que os aparelhos de celular e os palmtops não possuem.
Recentemente, o RSA encontrou um
rival de peso, voltado para os desafios do mundo das comunicações sem fio e do
comércio portátil. Os novos códigos usados para proteger o mundo cibernético
não são baseados nos números primos, são baseados em algo revolucionário: as curvas elípticas que são definidas por
tipos especiais de equações, aquelas de Andrew Wiles d`O Ultimo Teorema de Fermat.
O método - desenvolvido por Neal
Koblitz, da Universidade de Washinton - baseado em curvas elípticas não precisa
de chaves numéricas muito grandes, desta forma esses códigos são perfeitos para
o comércio móvel. Enquanto o RSA multiplica as horas do relógio em
calculadoras-relógio para embaralhar os números de cartões de crédito para protegê-los,
Koblitz propõe que esses números de cartões de crédito se percam em alguma
curva elíptica numa multiplicação estranha definida por pontos dessa curva. Portanto,
o desafio, isto é, a proposta de Riemann recaiu agora na matemática criada por ele mesmo.
SABER MAIS:
DU SAUTOY, Marcus. A Música dos Números Primos – A
história de um problema não resolvido na matemática (The Music Of The Primes, 2003.
Tradução de Diego Alfaro). Jorge Zahar Editor Ltda, Rio de Janeiro - 2008.
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