TRIGONOMETRIA

A TRIGONOMETRIA

DA ORIGEM ATÉ A SISTEMATIZAÇÃO

              Os estudantes do ensino médio aprendem que trigonometria é o ramo da matemática que estuda a relação entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo e que este estudo não é algo recente, mas que teve origem na antiguidade.

            Os matemáticos antigos fundamentaram-se em dois conceitos poderosos para realizar os seus trabalhos – por exemplo, calcular a altura das pirâmides, a largura dos rios e a altura das montanhas - que são: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULO e RAZÃO ENTRE DOIS NÚMEROS. Embora o conhecimento matemático dos antigos fosse muito rudimentar esses procedimentos deram início à trigonometria.

            A trigonometria não foi obra de um homem, muito menos de somente um povo. Ela é considerada uma extensão natural da geometria e os antigos egípcios e babilônios usavam-na para solucionar muitos problemas na agrimensura (esticadores de cordas), navegação (rotas marítimas) e astronomia (determinação de eclipses, fases da lua e distâncias inacessíveis). Foram os babilônios que dividiram a circunferência em graus, minutos e segundos, que estão em uso até hoje.

               O conceito de razão era usado pelos egípcios para calcular uma inclinação qualquer. Porém eles seguiam um raciocínio inverso ao conceito moderno: Se uma construção se eleva 50 metros para um afastamento de 100 metros, nos padrões modernos a inclinação da construção é de 50/100 ou 50%. No entanto, para os egípcios ao que se chama inclinação eles denominavam como seqt que era a razão entre o afastamento horizontal e a elevação vertical. Calculada de modo inverso ao atual: seqt = 100/50 = 2. 

Uma façanha atribuída ao matemático grego Tales de Mileto (624 a.C. – 558 a.C.) é que ele podia calcular a altura de uma construção - por mais elevada que fosse, sem precisar subir nela - por meio de semelhança. É de Tales o Teorema: Um feixe de paralelas determina em duas transversais, quaisquer, seguimentos proporcionais.

Uma demonstração simples para o Teorema de Tales, usando a propriedade “Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal” e o fato de que os segmentos AB e BC sejam comensurais e assim atribuindo valores numéricos a eles é:

1 – Primeiramente suponha que AB e BC sejam comensuráveis s seja u a unidade padrão de medida. Temos:

    AB = 5 u         

                                                            à      AB / BC   = 5 / 3

BC = 3 u

            2 – Agora trace pelos pontos de divisão de AB e BC as paralelas à reta a = AM do feixe, que vão interceptar t₂ em segmentos congruentes v, de acordo com a propriedade do feixe de paralelas, então:

                                  

    MN = 5 v         

                                                            à      MN / NP   = 5 / 3

NP = 3 v

            3 – Finalmente compare o item 1 com o item 2, assim temos:

AB/BC  = MN/NP à AB, BC, MN e NP são proporcionais ▪

       Note que se AB e BC forem incomensuráveis, o Teorema de Tales também é verdadeiro.

         O conceito de trigonometria pode ser encontrado também no trabalho do grego Aristarco de Samos (310 a.C.- 250 a.C.) intitulado Das grandezas e das distâncias ao Sol e à Lua que é um tratado de astronomia. Nessa obra aparece a expressão: 1/20 < sen 3º < 1/18.

       Muitos pesquisadores atribuem ao astrônomo e matemático grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. – 125 a.C.) o estabelecimento das bases da trigonometria, devido ele ser o primeiro a usar as relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e também construiu, presume-se, a primeira tabela trigonométrica. Devido a isso, a sociedade científica moderna o considera o Pai da Astronomia.

Séculos depois os hindus e os árabes muito contribuíram para o desenvolvimento da trigonometria. A matemática árabe atingiu, no século XII, um desenvolvimento muito grande que nesse século, realizaram-se muitas traduções do árabe para o latim, este fato possibilitou o desenvolvimento da matemática europeia. As traduções foram feitas por bons matemáticos e nesse meio estava o inglês Robert de Chester (sec XII 1140 - ?) que muito se destacou.

Os árabes haviam traduzido textos de trigonometria do idioma sânscrito e nesse processo, quando encontraram a palavra jiva (meia corda) eles escreveram jiba. É comum na língua árabe escrever apenas as letras consoantes de uma palavra e deixar o leitor acrescentar mentalmente as vogais. Desta forma, os tradutores árabes registraram: jb. Chester, ao traduzir do árabe para o latim, interpretou jb como sendo as consoantes da palavra jaib, que em latim significa baía ou enseada e escreve-se assim: sinus.

Devido a isso, a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa de um triângulo retângulo passou a ser chamada de sinus que em português significa seno: sen α/2 = cateto oposto / hipotenusa = jiva / 1. Note que a razão seno é válida para qualquer triângulo retângulo, pois triângulos semelhantes têm os lados proporcionais. Isto significa que em qualquer triângulo que tiver um ângulo agudo medindo α / 2, a razão entre o cateto oposto ao ângulo α / 2 e a hipotenusa é dito seno de α / 2: sen α / 2 = b / a.

Toda a trigonometria estudada até hoje está fundamentada no seno dos hindus e todas as outras razões trigonométricas no triângulo retângulo foram criadas, a partir de seno, são: cosseno, tangente e cotangente.

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa: cos α / 2 = c / a.

Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente ao ângulo: tg α / 2 = b / c.

Cotangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto ao ângulo: cotg α / 2 = c / b.

Um exercício clássico de trigonometria é: Pergunta-se: Qual é a largura L (em metro) de um rio, sem atravessá-lo? Para isso, adota-se o seguinte procedimento:

1-    Marca-se dois pontos, A (uma estaca) e B (uma árvore), um em cada margem do rio, tal que o ângulo no ponto A seja reto.

2-    Marca-se um ponto C, distante 10 metros de A, onde fixamos o teodolito (aparelho medidor de ângulos).

3-    Medimos o ângulo de 80º no ponto C.

Mediante as condições, calcule a largura L do rio.

Solução: Note que o triângulo ABC é retângulo, onde L = cateto oposto ao ângulo de 80º e 10 = cateto adjacente ao ângulo de 80º. Segue que:

Tg 80º = L / 10 à 5,7 = L / 10 à L = 5,7 x 10  à L = 57 m, que é a largura do rio.

O primeiro a sistematizar a trigonometria foi o matemático alemão Johann Müller von Königsberg (1436-1476) - conhecido pelo topônimo Regiomontanus (Königsberg para o latim Regiomontanus para o português Montanha do Rei) – em sua obra De Triangulis Omnimodis (Tratados dos Triângulos) onde expõe métodos para resolver triângulos, marcando assim o renascimento da trigonometria. Entretanto, com o passar do tempo, a trigonometria evoluiu muito que além de ser utilizada na agrimensura, navegação marítima e astronomia é usada em larga escala na física, na navegação aérea e na engenharia.  

Para Saber Mais:

GUELLI, Oscar. Dando Corda na Trigonometria, número 6 – Contando a História da Matemática. Editora Ática, São Paulo, 1993.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – Trigonometria – volume 3, 7ª edição. Editora Atual, São Paulo, 1995.

BOYER, Carl B. História da Matemática (A History Of Mathematics, 1991 – Tradução: Elza F. Gomide), 2^a edição. Editora Blucher Ltda, São Paulo, 1996.

trigonõnmetron