1)
O amigo do meu amigo é meu amigo, ou seja, (+)(+) = +;
2)
O amigo do meu inimigo é meu inimigo, ou seja, (+)( - ) = - ;
3)
O inimigo do meu amigo é meu inimigo, ou seja, ( - )(+) = - ; e, finalmente,
4)
O inimigo do meu inimigo é meu amigo, o que significa ( - )( - ) = +.
Sem
dúvida, esta ilustração era um bom artifício didático, embora alguns de nós não
concordássemos
com a filosofia maniqueísta contida na justificação da quarta regra (podíamos imaginar
muito bem três pessoas inimigas entre si).
Considerações
sociais à parte, o que os preceitos acima dizem é que multiplicar por -1
significa “trocar o sinal” e, evidentemente, trocar o sinal duas vezes equivale
a deixar como está. Mas geralmente, multiplicar por –a quer dizer multiplicar
por (-1)a, ou seja, primeiro por a e depois por -1, logo multiplicar por –a é o
mesmo que multiplicar por a e depois trocar o sinal. Daí resulta que (-a)(-b)=
ab.
Tudo
isto está muito claro e as manipulações com números relativos, a partir daí, se
desenvolvem sem maiores novidades. Mas, nas cabeças das pessoas mais
inquisidoras, resta uma sensação de “magister dixit”, de regra outorgada pela
força. Mais precisamente, insinua-se a dúvida: será possível demonstrar,
em vez de impor, que
(-1)(-1)
= 1?
Não
se pode demonstrar algo a partir do nada. Para provar um resultado, é preciso admitir
uns tantos outros fatos como conhecidos. Esta é a natureza da Matemática. Todas
as proposições matemáticas são do tipo “se isto, então aquilo”. Ou seja,
admitindo isto como verdadeiro, provamos aquilo como consequência.
Feitas
essas observações filosóficas, voltemos ao nosso caso. Gostaríamos de provar
que (-1)(-1) = 1.
Que
fatos devemos admitir como verdadeiros para demonstrar, a partir deles, estas
igualdades? De modo sucinto, podemos dizer que (-1)(-1) = 1 é uma consequência
da lei distributiva da multiplicação em relação à adição, conforme mostraremos
a seguir.
Nossa
discussão tem lugar no conjunto Z dos números inteiros (relativos), onde cada
elemento a possui um simétrico (ou inverso aditivo) –a, o qual cumpre a
condição
–a + a = a + (-a) = 0. Daí resulta que o
simétrico – a é caracterizado por essa condição. Mais explicitamente, se b + x
= 0, então x = -b, como se vê, somando –b a ambos os membros.
Em
particular, como –a + a = 0, concluímos que a = -(-a), ou seja, que o simétrico
de - a é a.
Uma
consequência da distributividade da multiplicação é o fato de que a.0 = 0, seja
qual for o número a. Com efeito,
a
+ a.0 = a.1 + a.0 = a( 1 + 0) = a.1 = a = a + 0. Assim, a + a.0 = a + 0 e logo
a.0 = 0.
Agora
podemos mostrar que (-1).a = -a para todo número a. Com efeito,
a
+ (-1).a = 1.a + (-1)a = [1 + (-1)].a = 0.a = 0, logo (-1).a é o simétrico de
a, ou seja,
(-1)a = -a. Em particular, (-1)(-1) = -(-1).
Daí resulta, em geral, que (-a)(-b) = ab, pois
(-a)(-b) = (-1)a
. (-1)b = (-1)(-1)ab = ab.
Extraído do
livro MEU
PROFESSOR DE MATEMÁTICA E OUTRAS HISTÓRIAS, escrito pelo professor Elon e publicado pela editora Sociedade Brasileira de Matemática SBM, Rio de Janeiro, 1991.
