ENTREVISTA COM O PROFESSOR ELON LAGES LIMA
Parte 1
O DIRETOR GERAL DO INSTITUTO PERUANO CESAR CAMACHO ENTREVISTA O MATEMÁTICO ELON LAGES LIMA. DESTACADO PROFISSIONAL DO INSTITUTO DE MATEMATICA PURA E APLICADA - IMPA DO BRASIL.
Parte 2
Parte 3
Parte 4
Elon Lages Lima nasceu em Maceió capital do estado de Alagoas aos 9 de julho de
1929, é professor mestre e doutor (PhD) pela Universidade de Chicago, ganhador
por duas vezes do Prêmio Jabuti da Câmara Brasileira do Livro e recebedor do
prêmio Anísio Teixeira do Ministério da Educação e do Desporto. É autor de
vinte e cinco livros sobre Matemática, seis dos quais se destinam à formação e aperfeiçoamento
de professores do ensino médio.
Coordenou o projeto IMPA-VITAE que, de 1990 a 1995,
realizou cursos de aperfeiçoamento para professores de Matemática em onze
cidades de oito estados brasileiros. Tal projeto constituiu o modelo no qual se
basearam os convênios que a CAPES vem firmando, até agora em nove estados,
inclusive o Rio de Janeiro.
POR QUE MENOS VEZES MENOS DÁ MAIS ?
Ou por que (-1)x(-1) = (+1)?
Meu
saudoso professor Benedito de Morais costumava explicar, a mim e a meus colegas
do segundo ano ginasial, as “regras de sinal” para a multiplicação de números
relativos da seguinte maneira:
1)
O amigo do meu amigo é meu amigo, ou seja, (+)(+) = +;
2)
O amigo do meu inimigo é meu inimigo, ou seja, (+)( - ) = - ;
3)
O inimigo do meu amigo é meu inimigo, ou seja, ( - )(+) = - ; e, finalmente,
4)
O inimigo do meu inimigo é meu amigo, o que significa ( - )( - ) = +.
Sem
dúvida, esta ilustração era um bom artifício didático, embora alguns de nós não
concordássemos
com a filosofia maniqueísta contida na justificação da quarta regra (podíamos imaginar
muito bem três pessoas inimigas entre si).
Considerações
sociais à parte, o que os preceitos acima dizem é que multiplicar por -1
significa “trocar o sinal” e, evidentemente, trocar o sinal duas vezes equivale
a deixar como está. Mas geralmente, multiplicar por –a quer dizer multiplicar
por (-1)a, ou seja, primeiro por a e depois por -1, logo multiplicar por –a é o
mesmo que multiplicar por a e depois trocar o sinal. Daí resulta que (-a)(-b)=
ab.
Tudo
isto está muito claro e as manipulações com números relativos, a partir daí, se
desenvolvem sem maiores novidades. Mas, nas cabeças das pessoas mais
inquisidoras, resta uma sensação de “magister dixit”, de regra outorgada pela
força. Mais precisamente, insinua-se a dúvida: será possível demonstrar,
em vez de impor, que
(-1)(-1)
= 1?
Não
se pode demonstrar algo a partir do nada. Para provar um resultado, é preciso admitir
uns tantos outros fatos como conhecidos. Esta é a natureza da Matemática. Todas
as proposições matemáticas são do tipo “se isto, então aquilo”. Ou seja,
admitindo isto como verdadeiro, provamos aquilo como consequência.
Feitas
essas observações filosóficas, voltemos ao nosso caso. Gostaríamos de provar
que (-1)(-1) = 1.
Que
fatos devemos admitir como verdadeiros para demonstrar, a partir deles, estas
igualdades? De modo sucinto, podemos dizer que (-1)(-1) = 1 é uma consequência
da lei distributiva da multiplicação em relação à adição, conforme mostraremos
a seguir.
Nossa
discussão tem lugar no conjunto Z dos números inteiros (relativos), onde cada
elemento a possui um simétrico (ou inverso aditivo) –a, o qual cumpre a
condição
–a + a = a + (-a) = 0. Daí resulta que o
simétrico – a é caracterizado por essa condição. Mais explicitamente, se b + x
= 0, então x = -b, como se vê, somando –b a ambos os membros.
Em
particular, como –a + a = 0, concluímos que a = -(-a), ou seja, que o simétrico
de - a é a.
Uma
consequência da distributividade da multiplicação é o fato de que a.0 = 0, seja
qual for o número a. Com efeito,
a
+ a.0 = a.1 + a.0 = a( 1 + 0) = a.1 = a = a + 0. Assim, a + a.0 = a + 0 e logo
a.0 = 0.
Agora
podemos mostrar que (-1).a = -a para todo número a. Com efeito,
a
+ (-1).a = 1.a + (-1)a = [1 + (-1)].a = 0.a = 0, logo (-1).a é o simétrico de
a, ou seja,
(-1)a = -a. Em particular, (-1)(-1) = -(-1).
Daí resulta, em geral, que (-a)(-b) = ab, pois
(-a)(-b) = (-1)a
. (-1)b = (-1)(-1)ab = ab.
Extraído do
livro MEU
PROFESSOR DE MATEMÁTICA E OUTRAS HISTÓRIAS, escrito pelo professor Elon e publicado pela editora Sociedade Brasileira de Matemática SBM, Rio de Janeiro, 1991.
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