DOIS E DOIS SÃO CINCO !?

“Aquilo que os homens de fato querem não é o conhecimento, mas a certeza.”            

Bertrand Russell

Nos anos obscuros para muitos e nem tanto para poucos, o nosso iluminado Caetano Veloso compôs uma bela canção – “Como Dois e Dois” que diz tudo certo como dois e dois são cinco - para expressar a desigualdade usando uma ”igualdade”. No entanto lá na terra onde ele precisou viver, por motivo nem de longe certo, a banda britânica The Beatles acertou – com seus membros Paul, John, George e Ringo afinados em coro - o resultado da soma no verso “one and one and one is three” da canção Come Together, mas eles viviam num mundo onde todas as contas fechavam sem sofismos. Questões políticas, econômicas e sociais à parte ...

                DOIS E DOIS SÃO CINCO ... Então se

0 = 0 pode-se também representar assim

4 – 4 = 10 – 10 e esta deste modo

2² – 2² = (2 . 5) – (2 . 5) ela ainda tem essa aparência

2² – 2² = 2 . (2+3) – 2 . (2+3) e mais essa

(2 + 2) . (2 – 2) = (2 + 3) . (2 - 2)

Agora dividindo ambos os lados da igualdade por (2 – 2), chega-se a (2 + 2) = (2 + 3) que implica em 2 + 2 = 5. EPA!!! ABSURDO! TODOS NÓS SABEMOS QUE 2 + 2 = 4. A DEMONSTRAÇÃO ESTÁ FURADA! ONDE FOI QUE EU ERREI !?

Imagem extraída de wikipedia.org

      O grande e influente matemático, lógico e filósofo Bertrand Arthur William Russell (1872-1970), conterrâneo dos Beatles, escreveu a sua “Introdução à Filosofia Matemática” no cárcere (1918), este por motivos políticos, onde segundo ele as condições foram boas para filosofar. Assim, o resultado da prisão foi um texto claro, que não demanda conhecimentos prévios, onde ele expõe, de modo elementar a definição lógica de número, a análise da noção de ordem, a doutrina moderna do infinito, a natureza da infinitude e da continuidade, a teoria das descrições e classes como funções simbólica.  

     No decorrer de sua longa existência, ele foi agraciado com o Prêmio Nobel de Literatura em 1950, dedicou-se também à Psicologia, viajou por diversos países, onde em conferências que realizou, procurou explicar e divulgar as suas concepções filosóficas. Escreveu também os livros Outline of Philosoph, Principles of Social Reconstruction, The Analyses of Matter, Marriage and Morals, Education and the Social Order, e outros.  

     Bertrand, certa vez discorreu sobre a possibilidade de se deduzir qualquer coisa a partir de uma proposição falsa. Um dos seus pupilos o desafiou: “Considerando que 2 + 2 = 5, então é possível provar que o senhor é o Papa?”. Então ele respondeu “Sim”. Notando a expressão cética do aprendiz, o mestre lhe propôs a demonstração:

No mundo matemático eu sou Pop. Suponha que 2 + 2 = 5. Subtraindo 2 de cada lado da igualdade, obtemos 2 = 3. Por simetria 3 = 2. Agora subtraindo 1 de cada membro, tem-se que 2 = 1. O Papa e eu somos duas pessoas, se 2 = 1 então o Papa e eu somos um. Portanto, o Papa é Pop.

      Mas essa é outra canção ...  

Afinal, em que passagem da demonstração eu errei?

GENERALIZANDO O SOFISMO

Seja a = b, multiplica-se então a a ambos os membros da igualdade, assim

a = b

a.a = a.b . Soma-se a² – 2ab aos dois lados e tem-se

a² + a² – 2ab = ab + a² – 2ab. Simplificando fica

2a² – 2ab – a² – ab

2(a² - ab) = a² – ab. Divide-se os dois lados por a² – ab e concluí-se que

2 = 1 . AH ! MAIS UMA VEZ O ERRO FATAL ACONTECEU !

        Nas duas ocorrências, no último passo, onde se divide ambos os lados, no primeiro caso por 2 – 2 e desta vez por a² – ab (lembre que inicialmente assumimos que a = b ) é equivalente a dividir por ZERO, pois não se pode dividir por zero devido ao fato de zero não possuir inverso. Se zero tivesse inverso existiria algo que multiplicado por ele resultaria 1, por exemplo, 0 x a = 1 o que não é verdade.

          A lógica também nos leva às ciladas verbais.

UM POUCO DE REFLEXÃO

Afinal, por que estudar?

Quanto mais se estuda, mais se sabe.

Quanto mais se sabe, mais se esquece.

Quanto mais se esquece, menos se sabe.

Portanto, quanto mais se estuda menos se sabe.

Ora, por que estudar ?

       Devo lembrar e deixar claro que não estou fazendo apologia ao não estudar.

          Outro dia voltando para a minha casa ouvir a conversa, dentro do ônibus, em alto som, entre duas mulheres que discutiam entre elas sobre o amor. A mais nova disse: “Quem ama não adoece!”.  A outra, em fúria, rebateu: “As pessoas que amam não são felizes!”. Então só me restou concluir: Logo, as pessoas sadias são infelizes. Ora, ora.  Pois, pois. Cuidado ao usar a lógica!

“O truque da filosofia é começar por algo tão simples que ninguém ache digno de nota e terminar por algo tão complexo que ninguém entenda.” 

Bertrand Russell

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

BARROS, Dimas Monteiro de. Enigmas, Desafios, Paradoxos e Outros Divertimentos Lógicos e Matemáticos. Editora Novas Conquistas, São Paulo, 2003.

RUSSELL, Bertrand. Introdução à Filosofia Matemática (Introduction to Mathematical Philosophy, tradução de Maria Luiza X. de A. Borges). Editora Zahar, Rio de Janeiro, 2007.

NOVA ENCICLOPÉDIA DE BIOGRAFIAS, volume 4 de 5 volumes. Planalto Editorial Ltda, Rio de Janeiro, 1978.

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