ÁREAS DE REGIÕES POLIGONAIS - CONSIDERAÇÕES

ÁREAS DE REGIÕES POLIGONAIS

PRINCIPAIS

CONSIDERAÇÕES

         Polígono é uma figura geométrica formada por uma linha poligonal (vários ângulos) fechada.

          Superfície é um conjunto de pontos que limita uma porção do espaço.

       Superfície ou região poligonal é a reunião dos limites do polígono com sua região interior.

          Área é a porção limitada de um espaço bidimensional.

          A área da superfície de um polígono é expressa por um número real positivo.

          Definição 1: Um polígono é um polígono convexo, se e somente se, a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer deixa todos os demais vértices num mesmo semiplano dos dois que ela determina.

          Observação: Se um polígono não é convexo, diremos que ele é um polígono côncavo.

            Definição 2: Um polígono convexo é regular, se, e somente se, tem todos os seus lados dois a dois congruentes e todos os seus ângulos dois a dois congruentes.

          Definição 3: Um quadrilátero é um retângulo se, somente se, possui os quatro ângulos internos congruentes entre si.

 Cada ângulo interno de um retângulo é reto. Num retângulo as diagonais são congruentes (AC ≡ BD).

          Teorema 1: A área de um retângulo é o produto das medidas de dois de seus lados não paralelos.

          

          Definição 4: Um quadrilátero é um losango se, somente se, possui os quatro lados congruentes entre si.

          Num losango as diagonais são perpendiculares entre si (AC ┴ BD) e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos cujos vértices unem.

           Teorema 2: A área de um losango é a metade do produto de suas diagonais.

          Dem.: Seja um losango ABCD em que a diagonal maior mede d₁ e a diagonal menor mede d₂. Tracemos pelos vértices do losango, paralelas às suas diagonais, assim encontraremos o retângulo MNPQ. Note que, a área do losango ABCD é a metade da área do retângulo MNPQ, cuja base mede d₁ e a altura d₂. Portanto, escrevemos  A_L = [(d1.d2)/2].

Definição 5: Um quadrilátero é um quadrado se, e somente se, possui os quatro ângulos internos congruentes entre si e os quatro lados congruentes entre si.

Note que todo quadrado é retângulo e losango, desta forma, valem para ele as propriedades do retângulo e do losango.

Portanto, dado um quadrado de lado a, podemos calcular sua área

    A_Q = a . a → A_{Q =} a², visto que é um caso particular de retângulo.

Definição 6: Um paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.

Teorema 4: A área de um paralelogramo é o produto de qualquer uma de suas bases pela altura correspondente.

Dem.: Seja o paralelogramo ABCD com base AB. Note que, se traçarmos uma semireta com origem em C fazendo um ângulo de 90˚ com o prolongamento da base do paralelogramo, obteremos um retângulo. Observe que a base do paralelogramo é igual a base do retângulo e que a medida da altura do paralelogramo é igual à altura do retângulo. Assim, a área do paralelogramo é equivalente à área do retângulo. Portanto,

                              A_P = b . h

Teorema 6 : A área de um triângulo é a metade do produto de qualquer de seus lados pela altura correspondente.

 Dem.: Seja o triângulo ABC com altura h e base b. Tracemos uma semi reta paralela ao lado AB com origem em C, e tracemos uma semi reta paralela ao lado BC com origem em A. Desta forma, obtemos um paralelogramo ABCD. Como a diagonal AC divide o paralelogramo em dois triângulos congruentes, temos que a área do paralelogramo é igual a soma das áreas do triângulo um com o triângulo dois. Como os triângulos são congruentes, então eles têm a mesma área, logo

                    Área do Triângulo 1 + Área do Triângulo 2 = Área Paralelogramo

                    T₁ ≈ T₂  → Área Triângulo 1 = Área Triângulo 2

                    (2 . Área do Triângulo) = (Área do Paralelogramo)

                              Área do Triângulo = (área do paralelogramo/2)

                    Mas como a área do paralelogramo é base vezes altura, portanto temos

                                         A_T  = [(b.h)/2]

Definição 7: O quadrilátero que possui somente dois lados paralelos é chamado de trapézio.

          Os trapézios são classificados em três tipos: trapézio isósceles (os lados não paralelos são congruentes e os ângulos das bases são congruentes), trapézios retângulos (um de seus lados não paralelos é perpendicular às bases) e trapézios escalenos (os lados não paralelos não são congruentes e nenhum ângulo interno é reto).

          Teorema 6: A área de um trapézio é a metade do produto de sua altura pela soma de suas bases.

          Dem.: Seja o trapézio ABCD e sejam b₁ = DC e b₂ = AB as bases do trapézio e seja h a sua altura. Se traçarmos uma diagonal de A até C o trapézio fica dividido em dois triângulos. Como a área do triângulo A_T =(b.h)/2, logo temos

      A_TR = A_T1 + A_T2 =[(b1.h)/2]+[(b1.h)/2] = (½(b1+b2)h)

Área de um Polígono Regular com n lados

Seja n o número de lados do polígono, l a medida do lado do polígono, a a medida do apótema e 2p a medida do perímetro. Podemos decompor esse polígono em n triângulos de base l e altura a. Desta forma, a área de cada triângulo é A_t = (l.a)/2 e como n.l = 2p, temos: A_pol = n . A_t, então

          A_pol = n(l.a)/2) A_pol = [(2 . p . a) / 2 ]  →  A_pol = p . a

          Definição 8: Sejam A um ponto e r um número real positivo. Definimos a circunferência de centro A e raio r, como sendo o conjunto de todos os pontos do plano que estão à mesma distância r do ponto A.

         

          Observação: A união de uma circunferência com seu interior é chamada região circular fechada ou círculo.

Teorema 7: A área de um círculo C de raio r é dada por C = πr².

Dem.:Seja um círculo de centro O e raio r. Se considerarmos um polígono regular inscrito de n lados e de apótema a, fazendo n crescer indefinidamente, a superfície do polígono cresce também, mantendo-se menor que o círculo. Quando o polígono cresce, ele se aproxima da circunferência do mesmo modo que o apótema a se aproxima do raio r.

          Então, podemos dizer que o perímetro 2p do polígono aproxima-se da medida 2πr da circunferência. Portanto, a área do círculo é:

            S_c  = [(2p . a ) / 2]  →  S_c = [( 2π.r.r) / 2] →  S_c = π r²

Para Saber Mais:

REZENDE, Eliane Quelho Frota. QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas, 2ª edição – Campinas, São Paulo. Editora da Unicamp, 2008.

DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar, 7ª edição, volume 9 em 11 volumes. Editora Atual. São Paulo, 1995.

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ÁREA DO POLÍGONO

ÁREA DO POLÍGONO

            O que significa polígono e superfície? : poli quer dizer muitos ou muitas e gono significa ângulo (e o que significa ângulo? é a união de duas semi-retas que têm a mesma origem, mas não pertencem à mesma reta.). Ambas as palavras são de origem grega. Portanto, polígono significa muitos ângulos e um polígono tem tantos lados quantos são seus ângulos. E superfície é a união dos limites do polígono com sua região interior, ou ainda parte exterior e visível dos corpos, isto é, medida do comprimento e da largura de uma área. Os principais polígonos são os triângulos, quadriláteros (paralelogramo (losango, retângulo e quadrado) e trapézio (escaleno e isóscele)). Temos também: pentágonos, hexágonos e assim por diante.

          E o que é geometria? (ciência que estuda as relações entre os pontos, as retas, as curvas, as superfícies e os sólidos no espaço).

 Desde a pré-história já eram utilizadas regras para medir comprimentos, superfícies e volumes (que não é o objetivo de nossa aula). Os desenhos encontrados nas cavernas contêm figuras geométricas de grande valor histórico-investigativo.

Mas tarde, na idade antiga, no Egito, por exemplo, ocorreram grandes e constantes inundações no vale do rio Nilo que levaram os matemáticos a descobrirem formas de medir as terras inundadas, para avaliar perdas nas plantações. Devido a isso os egípcios criaram fórmulas destinadas a dar aos agrimensores e aos fiscais de obras modos apropriados de cálculo da superfície do retângulo e, talvez, do triângulo.

Mas foi com os gregos que a geometria ganhou o título de Ciência do Espaço. Os gregos se preocuparam em definir claramente os elementos geométricos, demonstrar teoremas, assim desenvolveram uma matemática ligada às necessidades práticas. Desta forma, eclodiu uma geometria de caráter filosófico. Os matemáticos gregos que mais se destacaram foram: Tales de Mileto (624 – 548 a.C.), Pitágoras de Samos (560 – 480 a.C.), Platão (427 – 348 a.C.), Aristóteles (384 – 322 a.C.), Euclides (365  -  300 a.C) e Arquimedes (287 - 212 a.C.). Pesquisem sobre eles!

E por falar em necessidades práticas. No nosso dia a dia estamos cercados por situações que envolvem a necessidade de calcularmos áreas. Por exemplo, quando há a necessidade de publicarmos um anúncio num determinado jornal nos é cobrado um valor mínimo para cada quadradinho da superfície ocupada com o conteúdo da informação. Existem muitos outros exemplos, tais como, a venda de um terreno, a compra de azulejos e forro decorativo para casa ou escritório. Mas nós nos deparamos com muitas formas geometrias: triângulos (triláteros), quadriláteros (quadrângulos), pentágonos e muitos outros.

ÁREA DO RETÂNGULO E DO QUADRADO

             Alguém tem um terreno muito grande e deseja construir um campo de futebol cercado por um jardim. Esta pessoa dispõe de muitas placas quadradas de grama e diversas mudinhas de plantas ornamentais. De modo que com as placas de grama ela deseja gramar o campo e com as mudinhas deseja construir um jardim de formas geométricas.

Considere uma unidade quadrada cujo lado mede u, conforme a figura abaixo  

u

sendo u um número inteiro

Se duplicarmos e dispusermos a unidade quadrada lado a lado formando a figura ABCD, teremos:

observe que a base AB = 3u e a altura BC = 2u.

Assim, tomando-se o quadrado de lado u como padrão de medida chegamos à área do retângulo ABCD da seguinte forma:

                   Área _ABCD = 3u x 2u = 6u²

          Concluímos que a área do retângulo ABCD é igual à base vezes a altura ou simbolicamente  A _retângulo = b x h, sendo A representando a área (area, surface), b (base) a base e h (height) a altura, respectivamente.

          Observe que se retirarmos 2 unidades quadradas das 6 unidades quadradas, obteremos uma figura composta por 4 unidades quadradas e se arrumarmos as 4 unidades quadradas do seguinte modo, teremos:

que resulta na base AB = 2u e a altura BC = 2u

Então AB = BC e podemos concluir que o quadrado é o retângulo com base igual à altura. Com isso, vamos representar por L a medida do lado do quadrado. Temos:

           Área _quadrado = L x L = L²

Portanto, para alguém cobrir o seu campo de futebol com as placas quadradas de grama terá que decidir se este campo terá a forma retangular ou quadrada. Pois o modo de calcular a sua área é o mesmo.

ÁREA DO PARALELOGRAMO E DO TRIÂNGULO

E se alguém decide agora construir o jardim em volta do campo. Mas o campo ficou de forma retangular e para que a visualização do conjunto campo-jardim seja apreciado agradavelmente e não monotonamente alguém decidiu plantar as mudinhas em lotes de terra na forma de um paralelogramo e precise calcular a área.  

A área do paralelogramo é a mesma que a do retângulo obtido a partir da decomposição do paralelogramo. Portanto, podemos concluir que a área do paralelogramo é o produto da base pela altura. A = b x h.

Mas alguém decidiu dividir o paralelogramo em duas partes cortando-o do vértice B ao D. Veja:

Obtemos 2 triângulos congruentes, então a área do triângulo ABD é a metade da área do paralelogramo ABCD. Portanto, podemos concluir que

Mas se nós precisarmos calcular a área de um triângulo que possui os 3 lados iguais (chamamos de equilátero) .

NOTA: O matemático grego Heron descobriu uma fórmula para calcular a área do triângulo quando são conhecidos os três lados do triângulo. A dedução dessa fórmula é muito trabalhosa

ÁREA DO LOSANGO

Considere um losango ABCD em que a diagonal maior mede d1 e a menor d2. Traçando pelos vértices do losango paralelas às suas diagonais, encontraremos o retângulo MNPQ. Observe que a área do losango é a metade da área do retângulo, cuja base mede d1 e a altura, d2. Então: Vamos obter a área de um losango com diagonais d1 e d2. As duas diagonais dividem o losango em quatro triângulos congruentes, cada um com a seguinte área: Portanto, a área do losango é a metade do produto de suas diagonais. ^ /| ? º  º ? +