ÁREA
DO POLÍGONO
O que significa polígono e
superfície? : poli quer dizer muitos ou muitas e gono significa ângulo (e o que
significa ângulo? é a união de duas semi-retas que têm a mesma origem, mas não pertencem
à mesma reta.). Ambas as palavras são de origem grega. Portanto, polígono
significa muitos ângulos e um polígono tem tantos lados quantos são seus
ângulos. E superfície é a união dos limites do polígono com sua região
interior, ou ainda parte exterior e visível dos corpos, isto é, medida do
comprimento e da largura de uma área. Os principais polígonos são os
triângulos, quadriláteros (paralelogramo (losango, retângulo e quadrado) e
trapézio (escaleno e isóscele)). Temos também: pentágonos, hexágonos e assim
por diante.
E o que é geometria? (ciência que estuda as relações entre
os pontos, as retas, as curvas, as superfícies e os sólidos no espaço).
Desde a pré-história já eram utilizadas regras
para medir comprimentos, superfícies e volumes (que não é o objetivo de nossa
aula). Os desenhos encontrados nas cavernas contêm figuras geométricas de
grande valor histórico-investigativo.
Mas
tarde, na idade antiga, no Egito, por exemplo, ocorreram grandes e constantes
inundações no vale do rio Nilo que levaram os matemáticos a descobrirem formas
de medir as terras inundadas, para avaliar perdas nas plantações. Devido a isso
os egípcios criaram fórmulas destinadas a dar aos agrimensores e aos fiscais de
obras modos apropriados de cálculo da superfície do retângulo e, talvez, do
triângulo.
Mas
foi com os gregos que a geometria ganhou o título de Ciência do Espaço. Os
gregos se preocuparam em definir claramente os elementos geométricos,
demonstrar teoremas, assim desenvolveram uma matemática ligada às necessidades
práticas. Desta forma, eclodiu uma geometria de caráter filosófico. Os
matemáticos gregos que mais se destacaram foram: Tales de Mileto (624 – 548
a.C.), Pitágoras de Samos (560 – 480 a.C.), Platão (427 – 348 a.C.),
Aristóteles (384 – 322 a.C.), Euclides (365 - 300 a.C) e Arquimedes (287 - 212 a.C.).
Pesquisem sobre eles!
E
por falar em necessidades práticas. No nosso dia a dia estamos cercados por
situações que envolvem a necessidade de calcularmos áreas. Por exemplo, quando
há a necessidade de publicarmos um anúncio num determinado jornal nos é cobrado
um valor mínimo para cada quadradinho da superfície ocupada com o conteúdo da
informação. Existem muitos outros exemplos, tais como, a venda de um terreno, a
compra de azulejos e forro decorativo para casa ou escritório. Mas nós nos
deparamos com muitas formas geometrias: triângulos (triláteros), quadriláteros
(quadrângulos), pentágonos e muitos outros.
ÁREA DO RETÂNGULO E DO QUADRADO
Alguém tem um terreno muito grande e
deseja construir um campo de futebol cercado por um jardim. Esta pessoa dispõe
de muitas placas quadradas de grama e diversas mudinhas de plantas ornamentais.
De modo que com as placas de grama ela deseja gramar o campo e com as mudinhas
deseja construir um jardim de formas geométricas.
Considere
uma unidade quadrada cujo lado mede u, conforme a figura abaixo
u
sendo u um número inteiro
Se duplicarmos
e dispusermos a unidade quadrada lado a lado formando a figura ABCD, teremos:
observe que a base AB = 3u e a altura BC = 2u.
Assim,
tomando-se o quadrado de lado u como padrão de medida chegamos à área do
retângulo ABCD da seguinte forma:
Área ABCD = 3u x 2u = 6u2
Concluímos que a área do retângulo
ABCD é igual à base vezes a altura ou simbolicamente A retângulo = b x h, sendo A representando
a área (area, surface), b (base) a base e h (height) a altura, respectivamente.
Observe que se retirarmos 2 unidades
quadradas das 6 unidades quadradas, obteremos uma figura composta por 4
unidades quadradas e se arrumarmos as 4 unidades quadradas do seguinte modo,
teremos:
que resulta na base AB = 2u e a altura BC = 2u
Então AB = BC e podemos concluir que o quadrado é o
retângulo com base igual à altura. Com isso, vamos representar por L a medida
do lado do quadrado. Temos:
Área quadrado = L x L = L2
Portanto,
para alguém cobrir o seu campo de futebol com as placas quadradas de grama terá
que decidir se este campo terá a forma retangular ou quadrada. Pois o modo de
calcular a sua área é o mesmo.
ÁREA
DO PARALELOGRAMO E DO TRIÂNGULO
E se
alguém decide agora construir o jardim em volta do campo. Mas o campo ficou de
forma retangular e para que a visualização do conjunto campo-jardim seja apreciado
agradavelmente e não monotonamente alguém decidiu plantar as mudinhas em lotes
de terra na forma de um paralelogramo e precise calcular a área.
A área do paralelogramo é a
mesma que a do retângulo obtido a
partir da decomposição do paralelogramo. Portanto, podemos concluir que a área
do paralelogramo é o produto da base pela altura. A = b x h.
Mas alguém decidiu dividir o paralelogramo em duas partes
cortando-o do vértice B ao D. Veja:
Obtemos 2 triângulos
congruentes, então a área do triângulo ABD é a metade da área do paralelogramo
ABCD. Portanto, podemos concluir que
Mas se nós precisarmos
calcular a área de um triângulo que possui os 3 lados iguais (chamamos de
equilátero) .
NOTA: O matemático grego Heron descobriu uma fórmula para calcular a
área do triângulo quando são conhecidos os três lados do triângulo. A dedução
dessa fórmula é muito trabalhosa
ÁREA
DO LOSANGO
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Considere um losango ABCD em que a diagonal maior
mede d1 e a menor d2.
Traçando pelos vértices do losango paralelas às suas
diagonais, encontraremos o retângulo MNPQ.
Observe que a área do losango é a metade da área do
retângulo, cuja base mede d1 e a altura, d2. Então:
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