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quinta-feira, 15 de novembro de 2012

ÁREA DO POLÍGONO







ÁREA DO POLÍGONO


            O que significa polígono e superfície? : poli quer dizer muitos ou muitas e gono significa ângulo (e o que significa ângulo? é a união de duas semi-retas que têm a mesma origem, mas não pertencem à mesma reta.). Ambas as palavras são de origem grega. Portanto, polígono significa muitos ângulos e um polígono tem tantos lados quantos são seus ângulos. E superfície é a união dos limites do polígono com sua região interior, ou ainda parte exterior e visível dos corpos, isto é, medida do comprimento e da largura de uma área. Os principais polígonos são os triângulos, quadriláteros (paralelogramo (losango, retângulo e quadrado) e trapézio (escaleno e isóscele)). Temos também: pentágonos, hexágonos e assim por diante.
          E o que é geometria? (ciência que estuda as relações entre os pontos, as retas, as curvas, as superfícies e os sólidos no espaço).
 Desde a pré-história já eram utilizadas regras para medir comprimentos, superfícies e volumes (que não é o objetivo de nossa aula). Os desenhos encontrados nas cavernas contêm figuras geométricas de grande valor histórico-investigativo.
Mas tarde, na idade antiga, no Egito, por exemplo, ocorreram grandes e constantes inundações no vale do rio Nilo que levaram os matemáticos a descobrirem formas de medir as terras inundadas, para avaliar perdas nas plantações. Devido a isso os egípcios criaram fórmulas destinadas a dar aos agrimensores e aos fiscais de obras modos apropriados de cálculo da superfície do retângulo e, talvez, do triângulo.
Mas foi com os gregos que a geometria ganhou o título de Ciência do Espaço. Os gregos se preocuparam em definir claramente os elementos geométricos, demonstrar teoremas, assim desenvolveram uma matemática ligada às necessidades práticas. Desta forma, eclodiu uma geometria de caráter filosófico. Os matemáticos gregos que mais se destacaram foram: Tales de Mileto (624 – 548 a.C.), Pitágoras de Samos (560 – 480 a.C.), Platão (427 – 348 a.C.), Aristóteles (384 – 322 a.C.), Euclides (365  -  300 a.C) e Arquimedes (287 - 212 a.C.). Pesquisem sobre eles!
E por falar em necessidades práticas. No nosso dia a dia estamos cercados por situações que envolvem a necessidade de calcularmos áreas. Por exemplo, quando há a necessidade de publicarmos um anúncio num determinado jornal nos é cobrado um valor mínimo para cada quadradinho da superfície ocupada com o conteúdo da informação. Existem muitos outros exemplos, tais como, a venda de um terreno, a compra de azulejos e forro decorativo para casa ou escritório. Mas nós nos deparamos com muitas formas geometrias: triângulos (triláteros), quadriláteros (quadrângulos), pentágonos e muitos outros.


ÁREA DO RETÂNGULO E DO QUADRADO


             Alguém tem um terreno muito grande e deseja construir um campo de futebol cercado por um jardim. Esta pessoa dispõe de muitas placas quadradas de grama e diversas mudinhas de plantas ornamentais. De modo que com as placas de grama ela deseja gramar o campo e com as mudinhas deseja construir um jardim de formas geométricas.
Considere uma unidade quadrada cujo lado mede u, conforme a figura abaixo  

u

sendo u um número inteiro


Se duplicarmos e dispusermos a unidade quadrada lado a lado formando a figura ABCD, teremos:




observe que a base AB = 3u e a altura BC = 2u.


Assim, tomando-se o quadrado de lado u como padrão de medida chegamos à área do retângulo ABCD da seguinte forma:

                   Área ABCD = 3u x 2u = 6u2


          Concluímos que a área do retângulo ABCD é igual à base vezes a altura ou simbolicamente  A retângulo = b x h, sendo A representando a área (area, surface), b (base) a base e h (height) a altura, respectivamente.
          Observe que se retirarmos 2 unidades quadradas das 6 unidades quadradas, obteremos uma figura composta por 4 unidades quadradas e se arrumarmos as 4 unidades quadradas do seguinte modo, teremos:





que resulta na base AB = 2u e a altura BC = 2u


Então AB = BC e podemos concluir que o quadrado é o retângulo com base igual à altura. Com isso, vamos representar por L a medida do lado do quadrado. Temos:

           Área quadrado = L x L = L2

Portanto, para alguém cobrir o seu campo de futebol com as placas quadradas de grama terá que decidir se este campo terá a forma retangular ou quadrada. Pois o modo de calcular a sua área é o mesmo.





ÁREA DO PARALELOGRAMO E DO TRIÂNGULO


E se alguém decide agora construir o jardim em volta do campo. Mas o campo ficou de forma retangular e para que a visualização do conjunto campo-jardim seja apreciado agradavelmente e não monotonamente alguém decidiu plantar as mudinhas em lotes de terra na forma de um paralelogramo e precise calcular a área.  

A área do paralelogramo é a mesma que a do retângulo obtido a partir da decomposição do paralelogramo. Portanto, podemos concluir que a área do paralelogramo é o produto da base pela altura. A = b x h.
Mas alguém decidiu dividir o paralelogramo em duas partes cortando-o do vértice B ao D. Veja:


Obtemos 2 triângulos congruentes, então a área do triângulo ABD é a metade da área do paralelogramo ABCD. Portanto, podemos concluir que




Mas se nós precisarmos calcular a área de um triângulo que possui os 3 lados iguais (chamamos de equilátero) .




NOTA: O matemático grego Heron descobriu uma fórmula para calcular a área do triângulo quando são conhecidos os três lados do triângulo. A dedução dessa fórmula é muito trabalhosa




ÁREA DO LOSANGO



Considere um losango ABCD em que a diagonal maior mede d1 e a menor d2.
Traçando pelos vértices do losango paralelas às suas diagonais, encontraremos o retângulo MNPQ.
Observe que a área do losango é a metade da área do retângulo, cuja base mede d1 e a altura, d2. Então:





Vamos obter a área de um losango com diagonais d1 e d2.
As duas diagonais dividem o losango em quatro triângulos congruentes, cada um com a seguinte área:








Portanto, a área do losango é a metade do produto de suas diagonais.




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