QUADRADOS MÁGICOS

QUADRADOS MÁGICOS

            No estudo de Álgebra Linear, especificamente espaços vetoriais, é comum se trabalhar com as matrizes de ordem nxn na resolução de sistemas de equações. Alguns autores, porém antes de introduzir e definir espaços vetoriais e subespaços, definem quadrado mágico: Uma matriz M, nxn, é dita quadrado mágico se a soma dos elementos em ambas as diagonais, em cada linha e em cada coluna  é a mesma. Definição de David Poole professor do Departamento de Ciência da Computação, da Universidade de British Columbia.

            Os chineses antigos tinham por hábito recreativo os quadrados mágicos. Segundo uma lenda antiga estes artefatos matemáticos foram trazidos para os homens por uma tartaruga que nadava no Rio Lo nos tempos do Imperador Yii, Segundo a história, ele era um engenheiro hidráulico. Um dos livros chineses mais antigos de matemática é o Chui-Chang Suan ou Nove Capítulos sobre a Arte Matemática, nele está resolvido o sistema de equações lineares simultâneas, que em notação moderna fica:

3x + 2y + z = 39

2x + 3y + z = 34

x + 2y + 3z = 26

Efutuando as operações elementares nas colunas da matriz

1     2     3

2     3     2

3     1     1

26    34    39

chega-se a

0     0    3

0     5     2

36    1     1

   99   24    39

            E ainda tem um segundo modo para a solução que em notação moderna fica: 36z = 99, 5y + z = 24 e 3x + 2y + z =39, onde se calcula facilmente os valores de z, y e x.

Quadrado Mágico  Lo Shu versão islâmica
٤	٩	٢	=	4	9	2
٣	٥	٧		3	5	7
٨	١	٦		8	1	6

Lo Shu versão hebraica
	ט		=		9
ג	ה	ז		3	5	7
	א				1

Imagem extraída Wikipédia

            

            Na gravura acima, intitulada Melancolia I de 1514 do artista e matemático alemão Albrecht Dürer (1471-1528) aparece um quadrado mágico pendurado na parede no canto superior direito, assim expresso:

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

            Note que a soma dos números em ambas as diagonais, em cada linha e em cada coluna é a mesma, que é 34. Observe também que os elementos do quadrado são os números inteiros 1, 2, 3, ..., 16. Dürer foi perspicaz por colocar os números 15 e 14 lado a lado proclamando assim a data da gravura.

            O enviado de Luis XIV à corte do Sião, em 1687, Simon de la Loubère (1642-1729) apresentou um método simples para formar quadrados mágicos de ordem ímpar. La Loubère era amigo do matemático alemão Gottfried Leibniz e tinha grande interesse por filosofia e matemática. A pergunta era: “Quantos quadrados mágicos existem em cada ordem?”. Não existe quadrado mágico de ordem 2, isto é fácil verificar. De ordem 3 existe somente um, o Lo Shu, no entanto encontram-se  oito disposições diferentes se utilizarmos simetrias em relação às diagonais do quadrado e rotações em torno do centro. Existem 880 quadrados mágicos de ordem 4, mas se fizermos rotações e simetrias teremos 7040 disposições diferentes. O problema ainda não está resolvido para o caso de quinta ordem, porém é sabido que o número ultrapassará treze milhões.

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

           

Para Saber Mais:

VELOSO, Eduardo. Viana, José Paulo. Um Cubo Primo (Desafios VI). Editora EDITEC, 2008.

POOLE, David. Álgebra Linear – Linear Algebra: A Modern Introduction. Editora Thomson, 2004.

BOYER, Carl B. História da Matemática (A History Of Mathematics, 1991 – Tradução: Elza F.Gomide), 2^a edição. Editora Blucher Ltda, São Paulo, 1996.

Imagem extraída do sítio Universidade de Coimbra

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