TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA

           Diz-se que uma circunferência é orientada quando nela se fixa um sentido positivo de percurso. Convencionou-se, em trigonometria, como sentido positivo o sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio, dito sentido anti-horário. Assim, é natural chamar o sentido negativo por sentido horário.  A todo arco de uma circunferência orientada chama-se orientado.

            Note que a cada arco orientado AB, onde A é a origem e B é o ponto extremo, está associado um número real α, que é a sua medida. O módulo de α é o comprimento do arco orientado.

                                                           

  

            Quando a origem e a extremidade de um arco são coincidentes diz-se que o arco é nulo.

           

            Fixado um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy no plano, denomina-se Circunferência Trigonométrica ou Ciclo  Trigonométrico a circunferência orientada de centro na origem do sistema, de raio unitário r = 1 e sentido positivo ou anti-horário.

  

            O Ciclo Trigonométrico é dividido em quatro partes iguais chamadas quadrantes. As retas x e y que são os eixos do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy que estabelecem esta divisão.

           

           

            Observe que os quadrantes do Ciclo Trigonométrico apresentam variações em graus e em radianos. Veja a figura abaixo.

REPRESENTAÇÃO DE UM ARCO

NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

           

Tabela 1
ARCOS DE MEDIDAS  º
60º+360º	60º-360º	têm a mesma extremidade do arco de 60º
60º+2 x 360º	60º-2 x 360º
60º+3 x 360º	60º-3 x 360º
⁞	⁞
60º+n x 360º	60º-n x 360º
Portanto se diferem apenas pelo número de voltas inteiras

Tabela 2
ARCOS DE MEDIDAS  rad
π/3 + 2π	π/3 - 2π	têm a mesma extremidade do arco de π/3 rad
π/3 + 2 x 2π	π/3 – 2 x 2π
π/3 + 3 x 2π	π/3 – 2 x 2π
⁞	⁞
π/3 + n x 2π	π/3 - n x 2π
Portanto se diferem apenas pelo número de voltas inteiras

            Pelas observações da tabela 1 e tabela 2, defini-se: dois arcos são côngruos ou congruentes se têm a mesma extremidade e se diferem pelo número de voltas inteiras. Note que arcos de medidas

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60º - 2 x 360º

60º - 1 x 360º

60º

60º + 1 x 360º

60º + 2 x 360º

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são arcos côngruos e podem ser expressos por 60º + k.360º, k ɛ Z. Também /arcos de medidas

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π/3 – 2 x 2π

π/3 – 1 x 2π

π/3

π/3 + 1 x 2π

π/3 + 2 x 2π

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são arcos congruentes e podem ser expressos por π/3 + k.2π, k ɛ Z.

            Portanto se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos congruentes a ele é αº + k.360º, k ɛ Z; e se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é α + 2kπ, k ɛ Z.

Aplicação:

            Partindo do ponto A, um móvel percorreu um arco de 1860º. Quantas voltas completas ele deu e em que quadrante parou?

Solução: Divide 1860º por 360º, assim obtém-se o quociente igual a 5 e resto igual a 60.

            Portanto, o móvel deu 5 voltas completas no sentido anti-horário. Observe que 0º < 60º < 90º, então o móvel parou no primeiro quadrante.

Para Saber Mais:

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – Trigonometria – volume 3, 7ª edição. Editora Atual, São Paulo, 1995.

GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Matemática 1 – Conjuntos, Funções, Trigonometria. Editora FTD, São Paulo, 1992.

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α + 2kπ