SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

A semelhança é um conceito natural e intuitivo. Figuras “parecidas” ou “que têm a mesma forma” são ditas semelhantes. Todavia, vamos estabelecer o conceito matemático de semelhança de triângulo, porém, vamos ver antes como e onde este conceito foi concebido.

AS DESCOBERTAS GEOMÉTRICAS DE TALES DE MILETO

            As pirâmides egípcias são monumentos grandiosos. A técnica empregada em sua construção até hoje fascina o homem.

Pirâmide de Quéops

A  Pirâmide Quéops, no Egito, foi construída cerca de 2500 a.C. Considerada uma das sete maravilhas do mundo antigo, ela tem aproximadamente 150 m de altura. Sua base é um quadrado, cujos lados medem cerca de 230 m.

Certa vez, o matemático e filósofo grego Tales apresentou-se ao Rei Amasis, do Egito, oferecendo-se para calcular a altura de uma pirâmide, sem escalar o monumento.

Tales percorreu as areias quentes do deserto e, nas proximidades da pirâmide, fincou uma estaca no chão. E concluiu que, no momento em que o comprimento da sombra da estaca fosse igual ao comprimento da própria estaca, a altura da pirâmide seria igual ao comprimento da sombra da pirâmide mais metade da medida da base.

Com esse método, Tales inaugurou o processo de medida indireta, largamente usado até hoje em Astronomia e para medir distâncias de locais inacessíveis.

Tales também previu o eclipse (Obscurecimento total ou parcial de um astro pele interposição de um corpo celeste entre ele e o observador ou entre o astro e o Sol que o ilumina.) do Sol, ocorrido no dia 28 de maio de 585 a.C.; criou um método para calcular a largura de um rio e um método para calcular a distância de um barco que se aproxima.

A Tales são atribuídas as seguintes descobertas geométricas:

Teorema de Tales

A IDEIA DE SEMELHANÇA

          A palavra semelhante quer dizer parecido. Mas, na Geometria, essa palavra tem um significado mais preciso. Por exemplo, dois mapas mundi, sendo um ampliação do outro,  na Geometria, dizemos que esses mapas são figuras semelhante, devido aos dois mapas terem exatamente a mesma forma, embora seus tamanhos sejam diferentes.

          Na Geometria, a palavra semelhante está ligada à idéia de mesma forma. Assim, uma ampliação, uma redução e até mesmo uma congruência são exemplos de semelhança.

          Trataremos de um caso especial de semelhança:

A Semelhança de Triângulos

Consideremos o seguinte problema:

Uma moeda de 2 cm de diâmetro, colocada a 2 m dos olhos, cobre exatamente a Lua cheia. Sabe-se que a Lua está a uma distância de 300.000 km da Terra, aproximadamente. Com estes dados, você é capaz de calcular o diâmetro da Lua?

Observando o desenho acima, vamos desdobrá-lo em duas figuras geométricas:

Observe que as duas figuras possuem a mesma “forma”, embora tenham tamanhos “diferentes”. Essas figuras são denominadas figuras semelhantes.

Definição:

          Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.

∆ABC ~ ∆A´B´C´  ↔  ≡ ´, B ≡ B´, C ≡ C´ e a/a´= b/b´= c/c´

Dois lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes.

São homólogos os lados:

                              BC e B´C´ (opostos aos ângulos  e ´)

                              AC e A´C´ (opostos aos ângulos B e B´)

                              AB e A´B´ (opostos aos ângulos C e C´)

Razão de Semelhança

          Seja K a razão de semelhança entre os lados homólogos, então

                              a/a´= b/b´= c/c´ = K,  K é chamado razão de semelhança dos triângulos.

          Se K = 1, os triângulos são congruentes.

Ex_1. 

Seja ∆ABC e ∆A´B´C´ triângulos semelhantes. Os lados do segundo têm medidas A´B´ = 3 cm, A´C´ = 7 cm e B´C´ = 5 cm. A medida do lado AB do primeiro é 6 cm, vamos obter a razão de semelhança dos triângulos e os outros dois lados do primeiro triângulo. 

Solução:

∆ABC ~ ∆A´B´C´ à a/a´= b/b´= c/c´à a/5 = b/7 = 6/c = 2

          Como a razão de semelhança é 2, segue que

          a/5 = b/7 = 2 à a/5 = 2 à a = 10 e b/7 = 2 à b = 14

          Portanto, BC = 10 cm e AC = 14 cm.

Propriedades:

          Da definição de triângulos semelhantes verifica-se facilmente que a semelhança é uma relação de equivalência, pois possui as propriedades:

i)               Reflexiva: ∆ABC ~ ∆ABC

ii)              Simétrica: ∆ABC ~ ∆RST  ↔ ∆RST ~ ∆ABC

iii)             Transitiva: ∆ABC ~ ∆RST, ∆RST ~ ∆XYZ  → ∆ABC ~ ∆XYZ

Teorema Fundamental:

          Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

          Hipótese                 Tese

          DE // BC       →       ∆ADE ~ ∆ABC

          Demonstração

          Para provarmos a semelhança entre ∆ADE e ∆ABC, precisamos provar que eles têm ângulos ordenadamente congruentes e lados homólogos proporcionais. Assim:

                    1º Os ângulos são congruentes

                    DE // BC → D ≡ B e E ≡ C (ângulos correspondentes), então temos: D ≡ B, E ≡ C e  comum (i)

                    2º Lados correspondentes são proporcionais

                    Pelo Teorema de Tales temos:

                    AD / AB = AE / AC

Por E construímos EF paralela a AB, com F em BC.

                    A figura obtida BDEF (acima) é um paralelogramo, pois os lados são paralelos

                                         DE ≡ BF à AE / AC = DE / BC à  pelo Teorema de Tales

                    Segue que, AD / AB = AE / AC = DE / BC ii.

          Portanto, de i e ii concluímos que ∆ADE ~ ∆ABC

Ex_2.

Um triângulo ABC tem os lados AB = 12 cm, AC = 13 CM e BC = 15 cm. A reta DE paralela ao lado BC do triângulo determina um triângulo ADE, em que DE = 5 cm. 

Calcule AD = x e AE = y.

          

Solução: 

Aplicando o Teorema Fundamental, vem:

DE // BC à ∆ADE ~ ∆ABC à x/12 = y/13 = 5/15 à x = 4 e y = 13/3    

     

                    Portanto, AD = 4 cm e AE = 13/3 cm    

Casos ou Critérios de Semelhança:

a.    Caso Ângulo Lado Ângulo

Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são iguais.

b.    Caso Lado Ângulo Lado

Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes.

c.     Caso Lado Lado Lado

Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.

Observações:

Com base nos casos de semelhança, podemos ter os resultados seguintes:

Se a razão de semelhança de dois triângulos é K, então:

          a razão entre lados homólogos é K;

          a razão entre os perímetros é K;

          a razão entre as alturas homólogas é K;

          a razão entre as medianas homólogas é K;

          a razão entre as bissetrizes internas homólogas é K;

          a razão entre os raios dos círculos inscritos é K;

          a razão entre os raios dos círculos circunscritos é K;

          .    .        .          .    .       .         .                .              .   .

          .    .        .          .    .       .         .                .              .   .

          .    .        .          .    .       .         .                .              .   .

          a razão entre dois elementos lineares homólogos é K;

          e os ângulos homólogos são congruentes.

Para Saber Mais:

DOLCE, Osvaldo. POMPEO, Nicolau José. Fundamentos de Matemática Elementar - Geometria Plana, vol 9 - Atual Editora, 1995.

FACCHINI, Walter. Matemática volume Único - 2ª edição. Editora Saraiva, 1997.

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