LOGARITMOS

DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES 

Dados dois números reais positivos a e b, com a ǂ 1, existe um único número real x tal que a^x = b. A x chama-se Logaritmo de b na base a e indica-se log_a b.

Simbolicamente, escreve-se:

⍱ b > 0, a > 0 e a ≠ 1

a^x = b ⟺ x = log_a b  

Sendo a a base do logaritmo

            b é o logaritmando ou antilogaritmo

            x é o logaritmo de b na base a.

Consequências da Definição:

            Sejam a, b e c números positivos, com a ≠ 1 e m um número real. Então

¹⁾        log_a 1 = 0, pois log_a 1 = x ∴ a^x = 1 ∴ x = 0

²⁾        log_a a = 1, log_a a = x ∴ a^x = a ∴ x = 1

³⁾        log_a a^m = m, pois log_a a^m = x ∴ a^x = a^m  ∴ x = m

⁴⁾        a^log_a^b = b, pois fazendo log_a b = x, temos a^x = b

⁵⁾        log_a b = log_a c ⇔ b = c. Note que log_a b = log_c = x ∴ a^x = b e a^x = c. Logo, b = c.

Propriedades Operatórias dos Logaritmos

1)    Logaritmo do Produto: Em qualquer base a  (sendo a > 0 e a ǂ 1). De um produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos, nessa base, dos fatores.

Se a > 0, a ǂ 1, b > 0 e c > 0, então log_a (b.c) = log_a b + log_a c

Solução: Fazendo log_a b = x e log_a c = y, temos a^x = b e a^y = c. Substituindo em log_a (b.c), resulta log_a (b.c) = log_a (a^x.a^y) = log_a a^x+y = x + y = log_a b + log_a c.

Note que não se trata de uma propriedade totalmente nova, mas de outro modo de escrever a propriedade de potências, em que o expoente do produto de potências de mesma base é obtido somando-se os expoentes de cada uma das potências dos fatores.

2)    Logaritmo do Quociente: Em qualquer base a (sendo a > 0 e a ǂ 1), de um quociente de dois números positivos é igual à diferença entre os logaritmos, nessa base, do indivíduo e do divisor.

Se a > 0, a ǂ 1, b > 0 e c > 0, então log_a b/c = log_a b – log_a c

Solução: Fazendo log_a b = x e log_a c = y, temos a^x = b e a^y= c. Substituindo em log_a em log_a b/c, resulta log_a b/c = log_a a^x/a^y = log_a a^x-y = x – y = log_a b – log_a c.

Neste caso também se trata de outro modo de escrever a propriedade de potências, onde o expoente do quociente de potências de mesma base é obtido subtraindo-se os expoentes de cada uma das potências envolvidas no quociente.

3)    Logaritmo de Potência: Em qualquer base a (a > 0, a ǂ 1), de uma potência de base positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo, na base a, da base dessa potência.

Se a > 0, a ǂ 1, b > 0 e m ⋲ R, então log_a b^m = m . log_a b

Solução: Fazendo log_a b = x, temos b = a^x. Substituindo em log_a b^m,  resulta log_a b^m = log_a (a^x)^m = log_a a^mx = mx = m . log_a b

Este foi outro modo de escrever a propriedade envolvida em potência de potência.

Caso Particular

Para Saber Mais:

FACCHINI, Walter. Matemática – Volume Único, Editora Saraiva, São Paulo, 2000

IEZZY, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar – Logaritmos. Editora Saraiva, São Paulo, 1996.

log_a 1 = 0