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domingo, 7 de abril de 2013

LOGARITMOS





DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES 


Dados dois números reais positivos a e b, com a ǂ 1, existe um único número real x tal que ax = b. A x chama-se Logaritmo de b na base a e indica-se loga b.
Simbolicamente, escreve-se:

b > 0, a > 0 e a 1
ax = b x = loga b  


Sendo a a base do logaritmo
            b é o logaritmando ou antilogaritmo
            x é o logaritmo de b na base a.


Consequências da Definição:

            Sejam a, b e c números positivos, com a 1 e m um número real. Então

1)        loga 1 = 0, pois loga 1 = x ax = 1 x = 0
2)        loga a = 1, loga a = x ax = a x = 1
3)        loga am = m, pois loga am = x ax = am   x = m
4)        alogab = b, pois fazendo loga b = x, temos ax = b
5)        loga b = loga c b = c. Note que loga b = logc = x ax = b e ax = c. Logo, b = c.


Propriedades Operatórias dos Logaritmos

1)    Logaritmo do Produto: Em qualquer base a  (sendo a > 0 e a ǂ 1). De um produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos, nessa base, dos fatores.
Se a > 0, a ǂ 1, b > 0 e c > 0, então loga (b.c) = loga b + loga c

Solução: Fazendo loga b = x e loga c = y, temos ax = b e ay = c. Substituindo em loga (b.c), resulta loga (b.c) = loga (ax.ay) = loga ax+y = x + y = loga b + loga c.

Note que não se trata de uma propriedade totalmente nova, mas de outro modo de escrever a propriedade de potências, em que o expoente do produto de potências de mesma base é obtido somando-se os expoentes de cada uma das potências dos fatores.

2)    Logaritmo do Quociente: Em qualquer base a (sendo a > 0 e a ǂ 1), de um quociente de dois números positivos é igual à diferença entre os logaritmos, nessa base, do indivíduo e do divisor.

Se a > 0, a ǂ 1, b > 0 e c > 0, então loga b/c = loga b – loga c
Solução: Fazendo loga b = x e loga c = y, temos ax = b e ay= c. Substituindo em loga em loga b/c, resulta loga b/c = loga ax/ay = loga ax-y = x – y = loga b – loga c.

Neste caso também se trata de outro modo de escrever a propriedade de potências, onde o expoente do quociente de potências de mesma base é obtido subtraindo-se os expoentes de cada uma das potências envolvidas no quociente.

3)    Logaritmo de Potência: Em qualquer base a (a > 0, a ǂ 1), de uma potência de base positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo, na base a, da base dessa potência.

Se a > 0, a ǂ 1, b > 0 e m R, então loga bm = m . loga b


Solução: Fazendo loga b = x, temos b = ax. Substituindo em loga bm,  resulta loga bm = loga (ax)m = loga amx = mx = m . loga b

Este foi outro modo de escrever a propriedade envolvida em potência de potência.



Caso Particular








Para Saber Mais:

FACCHINI, Walter. Matemática – Volume Único, Editora Saraiva, São Paulo, 2000


IEZZY, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar – Logaritmos. Editora Saraiva, São Paulo, 1996.




loga 1 = 0







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