La Géométrie de Cartesius

A LEITURA DO MUNDO PELA

GEOMETRIA ASSOCIADA À ÁLGEBRA

         Com o intuito de ilustrar a sua obra - Discours de la Méthode de Bien Conduire sa Raison et Chercher la Vérité dans les Sciences, de 1637 (Discurso do Método Para Bem Conduzir a Própria Razão e Procurar a Verdade nas Ciências) - o matemático e filósofo francês René Descartes (1596-1650) apresentou La Géométrie como o primeiro dos três apêndices do seu Discours. O Discurso do Método é considerada a obra que marcou o nascimento da Filosofia Moderna, na qual Descarte defende o Método Matemático como sendo o modelo para a aquisição de conhecimento em todos os campos da Ciência.

Imagem extraída de WikiPédia 

      La Géométrie constitui a base da Geometria Analítica também conhecida como Geometria Cartesiana. No século 17 a Europa vivia o auge das descobertas e conquistas ultramarinas e um protestantismo exacerbado, enquanto que o pensador criara as rotas dos navegadores na nau de Maurício de Nassau (1604-1679), brindando as primeiras flechas do que atualmente não apresenta semelhança com La Géométrie.

          Conterrâneo e contemporâneo de Descartes foi o matemático Pierre de Fermat (1601-1665) que se dedicava à Matemática de modo recreativo. Ele escreveu a obra  Locos Planos et Solidos Isagoge (Introdução aos Lugares Planos e Sólidos) que serviu também como base para a criação da Geometria Analítica. O trabalho de Fermat foi escrito antes de 1637 que foi o ano de publicação do Discours de Descartes, e publicada somente em 1679. Devido a isso Descartes obteve sozinho o mérito na “criação” da Geometria Analítica.

      A Geometria Analítica é o ramo da Matemática que associa, num único processo, a Aritmética, a Álgebra e a Geometria dos tempos antigos. Esse processo associa números a pontos de um gráfico e equações a figuras geométricas. Fundamentados na Geometria Analítica os matemáticos construíram muitos capítulos das ciências exatas, sobretudo a maior parte da Matemática Moderna.

Lembrando que os outros dois livros do apêndice do Discours de Descartes são:

La Dioptrique (segundo livro) onde aparece a primeira publicação da Lei da Refração e Les Météores (terceiro livro) que apresenta a primeira explicação - na História da Ciência - sobre o Arco-Íris.

Para Saber Mais:

YOUSSEF, Antonio Nicolau. FERNANDEZ, Vicente Paz. Matemática Conceitos e Fundamentos, volume 1. Editora Scipione, São Paulo – 1995

BOYER, Carl B. História da Matemática (A History Of Mathematics, 1991 – Tradução: Elza F. Gomide), 2^a edição. Editora Blucher Ltda, São Paulo, 1996.

la Géométrie

Locos Planos et Solidos Isagoge

LOGARITMOS

DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES 

Dados dois números reais positivos a e b, com a ǂ 1, existe um único número real x tal que a^x = b. A x chama-se Logaritmo de b na base a e indica-se log_a b.

Simbolicamente, escreve-se:

⍱ b > 0, a > 0 e a ≠ 1

a^x = b ⟺ x = log_a b  

Sendo a a base do logaritmo

            b é o logaritmando ou antilogaritmo

            x é o logaritmo de b na base a.

Consequências da Definição:

            Sejam a, b e c números positivos, com a ≠ 1 e m um número real. Então

¹⁾        log_a 1 = 0, pois log_a 1 = x ∴ a^x = 1 ∴ x = 0

²⁾        log_a a = 1, log_a a = x ∴ a^x = a ∴ x = 1

³⁾        log_a a^m = m, pois log_a a^m = x ∴ a^x = a^m  ∴ x = m

⁴⁾        a^log_a^b = b, pois fazendo log_a b = x, temos a^x = b

⁵⁾        log_a b = log_a c ⇔ b = c. Note que log_a b = log_c = x ∴ a^x = b e a^x = c. Logo, b = c.

Propriedades Operatórias dos Logaritmos

1)    Logaritmo do Produto: Em qualquer base a  (sendo a > 0 e a ǂ 1). De um produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos, nessa base, dos fatores.

Se a > 0, a ǂ 1, b > 0 e c > 0, então log_a (b.c) = log_a b + log_a c

Solução: Fazendo log_a b = x e log_a c = y, temos a^x = b e a^y = c. Substituindo em log_a (b.c), resulta log_a (b.c) = log_a (a^x.a^y) = log_a a^x+y = x + y = log_a b + log_a c.

Note que não se trata de uma propriedade totalmente nova, mas de outro modo de escrever a propriedade de potências, em que o expoente do produto de potências de mesma base é obtido somando-se os expoentes de cada uma das potências dos fatores.

2)    Logaritmo do Quociente: Em qualquer base a (sendo a > 0 e a ǂ 1), de um quociente de dois números positivos é igual à diferença entre os logaritmos, nessa base, do indivíduo e do divisor.

Se a > 0, a ǂ 1, b > 0 e c > 0, então log_a b/c = log_a b – log_a c

Solução: Fazendo log_a b = x e log_a c = y, temos a^x = b e a^y= c. Substituindo em log_a em log_a b/c, resulta log_a b/c = log_a a^x/a^y = log_a a^x-y = x – y = log_a b – log_a c.

Neste caso também se trata de outro modo de escrever a propriedade de potências, onde o expoente do quociente de potências de mesma base é obtido subtraindo-se os expoentes de cada uma das potências envolvidas no quociente.

3)    Logaritmo de Potência: Em qualquer base a (a > 0, a ǂ 1), de uma potência de base positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo, na base a, da base dessa potência.

Se a > 0, a ǂ 1, b > 0 e m ⋲ R, então log_a b^m = m . log_a b

Solução: Fazendo log_a b = x, temos b = a^x. Substituindo em log_a b^m,  resulta log_a b^m = log_a (a^x)^m = log_a a^mx = mx = m . log_a b

Este foi outro modo de escrever a propriedade envolvida em potência de potência.

Caso Particular

Para Saber Mais:

FACCHINI, Walter. Matemática – Volume Único, Editora Saraiva, São Paulo, 2000

IEZZY, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar – Logaritmos. Editora Saraiva, São Paulo, 1996.

log_a 1 = 0

LOGARITMOS - O Início

O ADVENTO DOS LOGARITMOS

         O alvorecer do século 16 foi marcado pelo desenvolvimento da Astronomia, do Comércio e da Navegação, que foi necessário se criar cálculos aritméticos cada vez mais complicados e trabalhosos. Devido a isso, houve um grande interesse em se obter processos mais rápidos e precisos em cálculos que envolviam multiplicações, divisões, potências e raízes.

         Para tanto, o matemático escocês John Napier (1550-1617) criou um método de cálculo através do qual se tornou possível realizar operações complexas utilizando operações mais simples. A esse método Napier chamou de logaritmo (logos = números e arithmos = razão), tendo ele publicado, em 1614, as suas primeiras tábuas de logaritmos.

         Muitos pesquisadores acreditam que Napier sofreu grande influência da obra Arithmetica Integra (considerada a mais importante de todas as álgebras alemãs do século dezesseis) publicada, em 1544, pelo matemático alemão Michael Stifel. Na sua Arithmetica, Stifel apresenta as seguintes sequências numéricas:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...
1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	...

Note que para se calcular 8 x 128, basta somar 3 + 7, que são os números correspondentes a 8 e a 128 na linha de cima (3 + 7 = 10). Desta forma, o resultado da multiplicação é o número correspondente a 10 na linha de baixo, isto é, 1024 = 8 x 128. Este processo também é válido para a divisão (a divisão naquela época era de difícil compreensão, até mesmo para os estudiosos): divida 512 por 64, então subtraia os números correspondentes a 512 e a 64 na linha a cima, 9 – 6 = 3 e o resultado desta divisão é o número que corresponde a 3 na linha debaixo que é 8.

         O matemático suíço Jobst Bürgi (1552-1632), sem conhecer o trabalho de Napier, desenvolveu um método semelhante baseado nos mesmos princípios, porém divulgado somente em 1620. Assim, imediatamente, a ideia de logaritmo foi aceita por alguns dos principais matemáticos da época, destacando o inglês Henry Briggs (1561-1630), que após reconhecer a importância da obra de Napier publicou, em 1624, novas tábuas de logaritmos, de utilização mais simples no sistema decimal.

         Desde a época de sua criação até o surgimento das calculadoras e computadores, os logaritmos constituíram-se numa poderosa ferramenta de cálculo e foram decisivos para o desenvolvimento da ciência e da tecnologia.

Apesar de as calculadoras e os computadores terem tornado os logaritmos obsoletos para cálculos, seu estudo é de importância fundamental, pois eles estão estreitamente relacionados às leis matemáticas que descrevem alguns importantes fenômenos naturais. Na Química, por exemplo, usam-se os logaritmos quando se quer medir a acidez de uma solução. Outro exemplo de uso dos logaritmos é na Biologia, quando se deseja acompanhar o crescimento de uma folha.

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Para Saber Mais

YOUSSEF, Antonio Nicolau. FERNANDEZ, Vicente Paz. Matemática Conceitos e Fundamentos, volume 1. Editora Scipione, São Paulo – 1995.

SMOLE, Kátia Stocco. DINIZ, Maria Ignez. Matemática – Ensino Médio, volume 1. Editora Saraiva, São Paulo – 2008.

BOYER, Carl B. História da Matemática (A History Of Mathematics, 1991 – Tradução: Elza F. Gomide), 2^a edição. Editora Blucher Ltda, São Paulo, 1996.

Arithmetica Integra 

TEOREMA DE TALES - EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

1) Um feixe de 4 paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem 5cm, 6cm e 9 cm, respectivamente. Determine os comprimentos dos segmentos que esse mesmo feixe determina sobre  outra transversal, sabendo que o segmento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 60cm.

Solução

Pelo Teorema de Tales temos:

                        x / 5 = 60 / 20 → x = 15 cm          

                                                                                                                            

                         y / 6 = 60 / 20 → y = 18 cm   

                                                                                                                                                                                                                                                                              

                         z / 9 = 60 / 20 → z = 27 cm ou ainda, z = 60 – 15 – 18 → z = 27 cm  

                                                                                                                                                                                                                                                                                

        Logo, os comprimentos são x = 15 cm, y = 18 cm e z = 27cm                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

                     

2) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como mostra a figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m?

Solução

Por Tales segue que:

x / 40 = 180 / 90 → x = 80

y / 30 = 180 / 90 → y = 60

z / 20 = 180 / 90 → z = 40

Logo, as medidas de frente para cada lote são x = 80, y = 60 e z = 40

3) Determine x e y, sendo r, s e t retas paralelas. Veja figura.

Solução

Temos que:

            (2+x-7) / x = (x - 7) / 12 → 12 x – 60 = x² - 7x → x² – 19x + 60 = 0

            x = (-19 ± √19² -4.1.60) / 2 → xⁱ = 15 e xⁱⁱ = 4 → x = 15]

            Como são proporcionais, temos que y = 20 – 4 → y = 16, ou ainda

            Y / 12 = 20 / 15 → y = 240 / 15 → y = 16

            Portanto, x = 15 e y = 16

4) Dados um triângulo ABC e um segmento DE com D em AB e E em AC, prove que, se AD : DB = AE : EC, então DE é paralelo a BC.

        Solução

Pelo Teorema de Tales, os segmentos AB e AC são transversais aos segmentos DE e  BC, sendo assim a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. Logo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC.                   

5) No triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a medida de CN.

      Solução

Pelo Teorema de Tale segue que:

            CN / 10 = 36 / 32 → CN = 360 / 32 = 45 / 4 cm

            Logo, CN = 45 / 4 cm

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Para Saber Mais:

DOLCE, Osvaldo. POMPEO, Nicolau José. Fundamentos de Matemática Elementar - Geometria Plana, vol 9 - Atual Editora, 1995

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