TETRAEDROS
Na
Geometria Espacial, como em outros conteúdos da Matemática, os objetos são
abstratos e ideais e a representação destes em papel e lápis é delicada,
exigindo determinadas habilidades do aluno e do professor, além de
conhecimentos e domínio dos traçados nas construções geométricas.
De fato, a
passagem de um objeto geométrico espacial para um desenho em um suporte
bidimensional que o representa é feita por meio de projeções que não conservam
todas as propriedades do objeto, resultando necessariamente em perda de
informação. Assim, ainda que se reconheça a importância das representações no
ensino da Geometria, alguns problemas surgem quando se trata de identificar, no
desenho, as propriedades do objeto tridimensional.
Portanto, pesquisas
no campo da Educação Matemática atestam a existência desse tipo de dificuldade,
relacionada à questão da representação e da visualização de figuras 3D. O
questionamento de Rommevaux – pode-se
ensinar os alunos a verem no espaço? – ilustra bem essa problemática, uma
vez que, segundo a autora, é necessário “enxergar” três dimensões em um desenho
que tem apenas duas.
PLATÔNICOS
As formas poliédricas vêm sendo
estudadas desde a antiguidade em especial pelos Egípcios. Um dos mais antigos
documentos que comprova esses estudos é o papiro Ahmes, ou Rhind, copiado por
volta de 1890 a.C. a partir de um papiro deixado por Imhotep , o quase lendário
arquiteto e médico do Faraó Zoser, apresentando cálculos de área e volume de
troncos de pirâmides (figura 1).
fig 1 Papiro de Rhind
Já no século IV a.C. o filósofo grego Platão, fundador da
academia de Atenas, passou a estudar os cinco sólidos regulares, influenciado
por Teaetetus, e associados pelos Pitagóricos a elementos da natureza (fogo,
terra, ar e água). A deferência dos Pitagóricos por um deles, o dodecaedro,
levou Platão a considerá-lo como o símbolo do universo. As 12 faces pentagonais
do dodecaedro regular representam, nesta acepção, tanto os meses do ano como os
12 signos do Zodíaco e, em cada uma dessas faces pode ser inscrito um
pentagrama regular. Outras propriedades geométricas do dodecaedro, em grande
parte ligadas à secção de ouro, refletem a ordem e a harmonia do cosmo,
justificando sua escolha como símbolo do universo (Modernamente, a física das
altas energias comprovou que qualquer forma de matéria (com massa > 0) é
constituída por 12 diferentes tipos de partículas elementares, exatamente
tantas quantas são as faces do dodecaedro)
Reconhecidamente esta pesquisa histórica indica que a metafísica
pitagórica tinha uma veneração particular para os números ímpares. A perfeição
dos números triangulares era assegurada pela relação entre eles e o triângulo
equilátero, símbolo da tetraktys (o triângulo perfeito) e da perfeição divina. No
entanto, o cinco, em especial, se relaciona com a seção áurea, com o pentágono
e o pentáculo (pentagrama) e não existem, senão, cinco poliedros regulares convexos.
As ideias de Platão sobre os poliedros regulares foram
registradas no Timaeus, possivelmente o
nome de um Pitagórico que servia como interlocutor principal. Não se sabe ao
certo se Timaeus de Locri existiu ou se foi um personagem criado por Platão. De
toda sorte, os poliedros regulares são, ainda hoje, designados como “corpos
cósmicos” (ao hexaedro, Platão correspondia a Terra, ao tetraedro, associava o
Fogo, cuja natureza penetrante está simbolizada na agudeza dos seus vértices. O
octaedro foi associado ao Ar e o icosaedro à Água. O quinto sólido, o
dodecaedro, foi considerado por Platão como o símbolo do Universo.) ou “sólidos
platônicos”. Para Platão, todo sólido é limitado por superfícies que podem ser simplificadas
para superfícies planas compostas de triângulos. Deste modo compôs os polígonos
regulares através de triângulos escalenos definidos pelas diagonais e
mediatrizes de cada face regular, obtendo o triângulo equilátero, o quadrado, e
o pentágono regular.
Embora o Timaeus seja a mais antiga evidência da
associação entre os quatro elementos da natureza com os sólidos regulares;
certamente muito dessa história deve-se aos pitagóricos. Ploclus (séc. V a.C.)
atribui a construção das figuras cósmicas a Pitágoras; mas, para Scridas, Teaetetus,
amigo de Platão, foi o primeiro a escrever sobre eles. Posteriormente, Euclides
de Alexandria, 360-295 a.C, escreveu sobre os poliedros regulares no Livro XI
dos seus “Elementos”, e às suas propriedades dedica o Livro XIII. Nesse último
livro Euclides afirma que somente três dos sólidos regulares eram devidos aos pitagóricos,
e que foi através de Teaetetus, que o octaedro e o icosaedro se tornaram conhecidos.
Dando um salto no tempo, apenas em 1525 d.C., Albretch
Dürer, planificou os poliedros platônicos e utilizou a projeção ortogonal para
representá-los, projetando-os segundo os seus eixos de simetria. No século XIX,
o princípio da dualidade de Poncelet (1788-1867), além de outras bases da
Geometria Projetiva tornaram possível entender outras características destes
sólidos, possibilitando a sua mais simples representação no plano.
No século XVIII, Leonhard Euler (1707-1783), matemático e
físico suíço, estudou vários ramos da matemática pura e aplicada. Entre seus
estudos demonstrou o talvez mais conhecido teorema para a área: a soma do
número de vértices com o número de faces excede em duas unidades o número de
arestas de um poliedro que seja homeomorfo (Dois espaços topológicos dizem-se homeomorfos se existir uma
aplicação entre esses espaços que seja contínua, invertível e a sua inversa
seja contínua) à esfera.
Definição1: Um poliedro é chamado
poliedro de Platão se, e somente se, satisfaz as seguintes condições:
1) todas
as faces têm o mesmo número (n) de arestas,
2) todos
os ângulos poliédricos têm o mesmo número (m) de arestas,
3) vale
a relação de Euler (V+F=A+2).
Definição2: Um poliedro convexo é
regular quando:
1) suas
faces são polígonos regulares e congruentes,
2) seus
ângulos poliédricos são congruentes.
Definição3: Chamamos de tetraedro
regular ao poliedro que tem por faces quatro triângulos equiláteros congruentes.
Propriedades: O
tetraedro é considerado o poliedro platônico de mais simples representação. Reveste-se,
entretanto, de características peculiares que lhe fornecem rigidez (A estrutura
do diamante é constituída de átomos de carbono puro dispostos nos quatro
vértices de um tetraedro e um único no seu centro. Devido a essa disposição
geométrica, o diamante é bastante compacto. Possui alta densidade 3,5g/cm3
e é a substância natural mais dura que se conhece) ímpar em relação a qualquer
transformação, visto que é limitado por triângulos equiláteros e, apenas
quatro, constituindo-se no menor arranjo tridimensional possível entre formas
geométricas regulares convexas.
1) é inscritível numa esfera,
2) num
tetraedro regular, a soma das distâncias de um ponto interior qualquer às
quatro faces é igual à altura do tetraedro.
EIXO
DE SIMETRIA: Particularmente, possui eixos de simetria de apenas duas
ordens: binária e ternária. A projeção, ou vista binária, é obtida em um plano
perpendicular a uma reta que passa pelos pontos médios de duas arestas não
adjacentes. É um exemplo típico de simetria rotacional aresta-aresta.
Na representação, figura 2;
observamos dois triângulos semelhantes (ABC e ABD), com um lado comum (AB).
Esta é outra maneira de se verificar a simetria pela projeção. Notamos ainda que,
qualquer que seja a medida da aresta do tetraedro, (AB) e (CD) corresponderá á
sua verdadeira grandeza (figura 2).
Composto por quatro triângulos equiláteros reunidos três
a três na composição dos seus ângulos sólidos, o tetraedro apresenta quatro
vértices e seis arestas. Considerando que o eixo de simetria binária é aresta-aresta, neste caso, é
simples concluir a existência de apenas três pares de arestas não adjacentes;
ou seja, três eixos de simetria binária, o que é a metade do número de arestas.
fig 2
Já a simetria rotacional ternária, embora a princípio
distinta da “regra” para os demais poliedros platônicos, corrobora o princípio
da dualidade no espaço. Passando o eixo de vértice a face, teremos um
eixo de ordem Ternária. A face considerada, paralela ao plano de projeção por
ser perpendicular ao eixo, é projetada em verdadeira grandeza; ou seja, um
triângulo equilátero (figura 2). As três demais faces são projetadas como
triângulos isósceles semelhantes. Uma vez que o número de vértices é igual ao
número de faces, é possível se obter o mesmo número de eixos de ordem ternária
no tetraedro; ou seja, quatro. Em relação à regra referida, destacamos que um
eixo de ordem binária e um de ordem ternária, no tetraedro, não são
perpendiculares entre si. Deste modo, não é possível passar de uma vista para a
outra, diretamente, já que o plano de projeção para a segunda vista, em simetria,
deve ser perpendicular ao eixo e ao plano de projeção da primeira vista (figura
3).
fig 3
ÁREA: A área total do tetraedro é a
soma das áreas dos quatro triângulos equiláteros de lado a. Então:
VOLUME: Considerado
como um caso particular de pirâmide regular de base triangular, o volume do
tetraedro é dado pela expressão matemática:
SECÇÕES
DE CORTES: Como já visto, o tetraedro tem apenas dois eixos de
simetria: binário, passando pelo ponto médio de duas arestas opostas e o
ternário, que vai de um vértice ao centro da face oposta. Se o tetraedro é
seccionado perpendicularmente em relação ao eixo ternário, dá origem a
triângulos equiláteros, qualquer que seja a altura da secção em relação à base.
Quando seccionado perpendicularmente ao eixo binário dá origem a retângulos que
variam conforme a altura do corte, incluindo o quadrado, obtido quando a forma
é seccionada na altura média entre as arestas opostas.
fig 4
fig 5
Enviado por Isadoralmeida em 04-05-2011
Para saber Mais
BOYER, Carl B. História da Matemática, 2ª edição. Editora
Edgard Blücher. São Paulo, 1996.
DOLCE, Osvaldo. Pompeo, José Nicolau. Fundamentos de
Matemática Elementar, volume 10, em 11 volumes, 5ª edição. Editora Atual. São
Paulo, 1995.
MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática – Na Escola do
Segundo Grau, volume 2, em 3 volumes. Editora Atual S/A. São Paulo, 1998.
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