APRENDENDO ANÁLISE COMBINATÓRIA

Imagem extraída de Teoria Combinatória

APRENDENDO ANÁLISE COMBINATÓRIA ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

”... parece necessário romper-se com modelos tradicionais e implementar novas propostas.”

Adriana Luziê de Almeida & Ana Cristina Ferreira

         O ensino e a aprendizagem da Análise Combinatória ocorrem em meio a obstáculos que levaram Adriana Luziê de Almeida e Ana Cristina Ferreira a elaborarem um projeto de Mestrado embasado em suas experiências através de contatos com colegas e frequente participação em cursos e reflexões pessoais, visto que, a Análise Combinatória é parte crucial da Matemática Discreta e da Probabilidade tendo numerosa aplicação em diferentes ramos do conhecimento, tais como a Geologia, Química, Engenharia, Gestão Empresarial, Informática, etc.

          A proposta deste trabalho é construir, implementar e analisar trabalhando em turmas  do 9º ano do Ensino Fundamental e 2º anos do Ensino Médio, a Análise Combinatória, fundamentalmente, na resolução de problemas e investigação matemática. Como os PCNs defendem a importância do raciocínio combinatório na formação dos alunos do Ensino Médio (PCN, 1998, p.257), as pesquisadoras em conversa informal com professores de Matemática e alicerçadas em experiências pessoais verificaram que é comum o ensino da Análise Combinatória através de fórmulas, o que não contribui, em sua totalidade, com o aprendizado esperado. Em consequência disso, defendem que o aluno construa suas próprias soluções analisando e discutindo o problema.

          Trabalhos realizados por pesquisadores no campo da Análise Combinatória têm mostrado que quando o tema é abordado em turmas do Ensino Fundamental têm-se resultados significativos nos níveis de aprendizagem posteriormente. Só quem não teve contato com o conteúdo apresenta maiores dificuldades. Para Batanero (1997, pesquisador) os alunos se confundem com o tipo de elemento, no entanto sabem identificar a configuração combinatória.

          Atividades coletivas são necessárias desde os primeiros anos de contato escolar, porque estimulam os alunos de modo a formularem questões e trocarem ideias a cerca do conteúdo exposto. Para que os alunos não apenas memorizem o conteúdo e em seguida esqueça-o, é importante que o aprendizado ocorra de forma gradativa, tornando-os capazes de chegar ao conhecimento por si só, refletindo sobre um problema para formular uma estratégia com o intuito de resolvê-lo.  

          Como a Análise Combinatória tem muitas aplicações em inúmeras áreas do saber e também conexões com outros ramos da Matemática, Roa e Navarro-Paleyo (2001) destacam em seus trabalhos que a combinatória é um pré-requisito importante para o raciocínio lógico, sendo este o motivo, pelo qual, a combinatória foi incluída nos currículos de Matemática. Uma das conexões da combinatória, dentro da Matemática, é com a probabilidade e muitos modelos de distribuição probabilística são expressos por meio de operações combinatórias, como, por exemplo, a Distribuição Binomial. Se o aluno não tem capacidade para lidar com a combinatória, isto é, não tem o raciocínio combinatório, então apresentará dificuldades para a compreensão da probabilidade.

          Para tanto, é fundamental que o aluno queira participar das atividades propostas e que o professor ou o educador o esclareça disso, mostrando-lhe a real oportunidade de expor as suas ideias. Afinal, a resolução de problemas pode ser prazerosa quando estes propõem desafios (praticidade, aplicabilidade no dia a dia de quem se predispõe a resolvê-los) para quem se dispõe a solucioná-los. Assim, a escolha das questões é importante, devendo estimular o raciocínio combinatório.

O dever do professor é incentivar o aluno a interpretar, criar estratégias, argumentar, trabalhar em equipe, explicar de modo claro e justificar suas ideias. Assim, são introduzidas duas atividades, para serem trabalhadas em grupos: primeiramente, o aluno é convidado a identificar o número de peças que formam um jogo de dominó completo, para em seguida, receber uma lista com problemas diversos para discutir e resolver.

Portanto, é necessário que o professor acompanhe o trabalho do grupo questionando suas conjecturas, com o intuito de proporcionar ao grupo a oportunidade de discutir as ideia, entre os componentes, desenvolvendo sua capacidade de argumentação e socialização de ideias.     

         

Para Saber Mais

ALMEIDA, Adriana Luziê de. FERREIRA, Ana Cristina

Aprendendo Análise Combinatória Através da Resolução de Problemas: um estudo com classes de 9º ano do Ensino Fundamental e 2º ano do Ensino Médio

Disponível em 

http://www2.rc.unesp.br/eventos/matematica/ebrapem2008/upload/261-1-A-gt11_almeida_e_ferreira_ta.pdf

combinatória

CONTAGEM

CONTAGEM

         Oi Juracy! Aproveitei a sua dúvida para fazer esta postagem. Se você preferir envie para o meu e-mail, mas também pode fazer comentários aqui mesmo. Se eu souber terei muito prazer em responder conforme estou fazendo agora. Veja também Análise Combinatória – Técnicas de Contagem, onde são indicados dois livros muito bons.  

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Arranjos Simples de n elementos distintos de um conjunto A, tomados p a p (p ≤ n), são agrupamentos que diferem entre si ou pela natureza ou pela ordem de seus elementos e que, quanto n = p, os arranjos são chamados de Permutações Simples.

          Então, do total de arranjos que podemos formar, existem aqueles que diferem entre si somente pela ordem de seus elementos e os que diferem entre si somente pela natureza de seus elementos.

        Os arranjos que diferem entre si somente pela natureza de seus elementos são chamados de Combinações Simples. Por exemplo, seja A={1,2,3,4}, o total de arranjos que podemos formar é: 123; 132; ... ;423; 432. No total são 24 arranjos. Desse total, apenas 123; 124; 134 e 234 (ou qualquer de suas permutações) diferem entre si somente pela natureza de seus elementos. Esses agrupamentos são as combinações dos 4 elementos de A, tomados 3 a 3.

          Seja A um conjunto com n elementos distintos, os arranjos simples desses n elementos, tomados n a n, são chamados de Permutações Simples. As permutações são agrupamentos formados pelos mesmos elementos, portanto só diferem entre si pela ordem dos mesmos.

          Por exemplo, se A={1;2;3}, as permutações simples de seus elementos são: 123; 132; 213; 231; 321; e 321. Indicado por P_n=n!.

          Considere a palavra ARARA. Se todos os elementos fossem distintos, teríamos P₅ = 5! = 120 permutações. Devemos, dividir esse número por 3! (que é o número de permutações das letras A, porque elas não são distintas) e por 2! (número de permutações das letras R, porque elas não são distintas). Então, temos Permutação com elementos repetidos.

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PRINCÍPIO DA INCLUSÃO-EXCLUSÃO

O PRINCÍPIO DA INCLUSÃO-EXCLUSÃO

O Principio da Inclusão-Exclusão é uma fórmula para se calcular o número de elementos que pertencem à união de vários conjuntos não necessariamente disjuntos. Na sua versão mais simples: (A U B) = A + B - (A ∩ B): (A U B) é o número de elementos que pertencem à pelo menos um dos conjuntos A ou B. Assim, contamos os elementos de A e os elementos de B: A + B. Quando fazemos isto, contamos os elementos de A ∩ B duas vezes.

Para três conjuntos o Principio diz que:

(A U B U C) = A + B + C – (A ∩ B) – (A ∩ C) – (B ∩ C) – (A ∩ B ∩ C)

Em suma o Princípio da Inclusão-Exclusão (PIE) é uma generalização de um dos princípios básico de contagem, o princípio aditivo. Este princípio está interessado na obtenção de uma fórmula para contar o número de elementos que pertencem a união de vários conjuntos não necessariamente excludentes ou disjuntos. Na sua forma mais simples calcula a cardinalidade da união de dois conjuntos A e B, no qual a intersecção entre A e B dá-se um conjunto vazio.

LEMAS DE KAPLANSKY

Primeiro Lema de Kaplansky: O número de p-subconjuntos de {1, 2 ,..., n} nos quais não há dois números consecutivos, considerando-se 1 e n como consecutivos é:

 f (n,p) = C^P_n-p+1

 Segundo Lema de Kaplansky: O número de p-subconjuntos de {1, 2 ,..., n} nos quais não há dois números consecutivos, considerando-se 1 e n como consecutivos é:

                                   

                                           f (n,p) = (n / n – p)C^p_n-p

PRINCÍPIO DAS GAVETAS DE DIRICHLET

Princípio das gavetas de Dirichlet: Se n objetos forem colocados em no máximo n-1 gavetas, então pelo menos uma delas conterá no mínimo dois objetos.

Demonstração. Suponha que cada gaveta contém no máximo um objeto. Então o número total de objetos é no máximo n - 1. Absurdo!

O Princípio de Dirichlet pode ser reformulado como se segue:

Se m objetos são colocados em n gavetas, então pelo menos uma gaveta contem [(m-1) / m] + 1 objetos.

Demonstração: Suponha que cada gaveta tem no máximo [(m-1) / m] + 1 objetos. Então o número total de objetos seria no máximo

[n (m-1) / m] ≤ [n(m-1)/m] = m – 1 < m. Absurdo!

PRINCÍPIO DA REFLEXÃO

Uma partícula, estando no ponto (x; y) pode se movimentar para o ponto   (x + 1; y + 1) ou para o ponto (x + 1; y - 1) (subidas e descidas). Pergunta-se:

a)    Quantos são os trajetos possíveis de (0; 0) a (8; 6)?

Vamos representar um movimento do tipo (x+1; y+1) por S(subida) e do tipo (x+1; y-1)  por D(descida). Para ir de (0; 0) a (8; 6) devemos ter S + D = 8, pois em cada movimento, a abcissa da partícula avança uma unidade. Também devemos ter S - D = 6, pois em cada movimento de subida a ordenada aumenta uma unidade e em cada movimento de descida a ordenada diminui uma unidade. Assim, obtemos S = 7 e D = 1. O número de trajetos é

                              ₈C^7,1 = 8

 

RELAÇÃO DE RECORRÊNCIA

Relação de recorrência (ou passo recorrente) é uma parte de uma Definição Recorrente (definição onde o item sendo definido é parte dela mesma). É onde, após a condição básica (caso simples, no qual o item sendo definido é especificado, que nos dá condições de iniciar a Definição), novos casos do item sendo definido são obtidos a partir de casos anteriores, formando uma sequência, um conjunto, uma operação ou até mesmo um algoritmo.

Uma equação de diferenças é qualquer problema onde deve-se determinar uma função (desconhecida) a partir de uma relação de recorrência envolvendo o operador diferença.

PERMUTAÇÕES CAÓTICAS

        

         Uma permutação dos números (1, 2 ,..., n) é  dita caótica quando nenhum número está no seu lugar primitivo. Por exemplo, 2143 e 2341 são caóticas, mas 1342 não é caótica. Seja D_n o número de permutações caóticas de (1, 2 ,..., n) e defina A_i = conjunto das permutações de (1, 2 ,..., n) em que o número i ocupa o i-ésimo lugar, ou seja, está em seu lugar primitivo. Assim, D_n  é o número de elementos do conjunto Ω das permutações de (1, 2 ,..., n) que pertencem a exatamente zero dos subconjuntos A₁, A₂ ,..., A_n.

Para Saber Mais: 

Universidade Federal de Uberlândia

BIANCHINI, Edwaldo. PACCOLA, Herval. Matemática volume 2, em 3 volumes. Editora Moderna, 1995.

FACCHINI, Walter. Matemática volume único. Editora Saraiva, 1997

Enviado por Pedlazcar