LOGARITMOS - O Início

O ADVENTO DOS LOGARITMOS

         O alvorecer do século 16 foi marcado pelo desenvolvimento da Astronomia, do Comércio e da Navegação, que foi necessário se criar cálculos aritméticos cada vez mais complicados e trabalhosos. Devido a isso, houve um grande interesse em se obter processos mais rápidos e precisos em cálculos que envolviam multiplicações, divisões, potências e raízes.

         Para tanto, o matemático escocês John Napier (1550-1617) criou um método de cálculo através do qual se tornou possível realizar operações complexas utilizando operações mais simples. A esse método Napier chamou de logaritmo (logos = números e arithmos = razão), tendo ele publicado, em 1614, as suas primeiras tábuas de logaritmos.

         Muitos pesquisadores acreditam que Napier sofreu grande influência da obra Arithmetica Integra (considerada a mais importante de todas as álgebras alemãs do século dezesseis) publicada, em 1544, pelo matemático alemão Michael Stifel. Na sua Arithmetica, Stifel apresenta as seguintes sequências numéricas:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...
1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	...

Note que para se calcular 8 x 128, basta somar 3 + 7, que são os números correspondentes a 8 e a 128 na linha de cima (3 + 7 = 10). Desta forma, o resultado da multiplicação é o número correspondente a 10 na linha de baixo, isto é, 1024 = 8 x 128. Este processo também é válido para a divisão (a divisão naquela época era de difícil compreensão, até mesmo para os estudiosos): divida 512 por 64, então subtraia os números correspondentes a 512 e a 64 na linha a cima, 9 – 6 = 3 e o resultado desta divisão é o número que corresponde a 3 na linha debaixo que é 8.

         O matemático suíço Jobst Bürgi (1552-1632), sem conhecer o trabalho de Napier, desenvolveu um método semelhante baseado nos mesmos princípios, porém divulgado somente em 1620. Assim, imediatamente, a ideia de logaritmo foi aceita por alguns dos principais matemáticos da época, destacando o inglês Henry Briggs (1561-1630), que após reconhecer a importância da obra de Napier publicou, em 1624, novas tábuas de logaritmos, de utilização mais simples no sistema decimal.

         Desde a época de sua criação até o surgimento das calculadoras e computadores, os logaritmos constituíram-se numa poderosa ferramenta de cálculo e foram decisivos para o desenvolvimento da ciência e da tecnologia.

Apesar de as calculadoras e os computadores terem tornado os logaritmos obsoletos para cálculos, seu estudo é de importância fundamental, pois eles estão estreitamente relacionados às leis matemáticas que descrevem alguns importantes fenômenos naturais. Na Química, por exemplo, usam-se os logaritmos quando se quer medir a acidez de uma solução. Outro exemplo de uso dos logaritmos é na Biologia, quando se deseja acompanhar o crescimento de uma folha.

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Para Saber Mais

YOUSSEF, Antonio Nicolau. FERNANDEZ, Vicente Paz. Matemática Conceitos e Fundamentos, volume 1. Editora Scipione, São Paulo – 1995.

SMOLE, Kátia Stocco. DINIZ, Maria Ignez. Matemática – Ensino Médio, volume 1. Editora Saraiva, São Paulo – 2008.

BOYER, Carl B. História da Matemática (A History Of Mathematics, 1991 – Tradução: Elza F. Gomide), 2^a edição. Editora Blucher Ltda, São Paulo, 1996.

Arithmetica Integra 

TEOREMA DE TALES - EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

1) Um feixe de 4 paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem 5cm, 6cm e 9 cm, respectivamente. Determine os comprimentos dos segmentos que esse mesmo feixe determina sobre  outra transversal, sabendo que o segmento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 60cm.

Solução

Pelo Teorema de Tales temos:

                        x / 5 = 60 / 20 → x = 15 cm          

                                                                                                                            

                         y / 6 = 60 / 20 → y = 18 cm   

                                                                                                                                                                                                                                                                              

                         z / 9 = 60 / 20 → z = 27 cm ou ainda, z = 60 – 15 – 18 → z = 27 cm  

                                                                                                                                                                                                                                                                                

        Logo, os comprimentos são x = 15 cm, y = 18 cm e z = 27cm                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

                     

2) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como mostra a figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m?

Solução

Por Tales segue que:

x / 40 = 180 / 90 → x = 80

y / 30 = 180 / 90 → y = 60

z / 20 = 180 / 90 → z = 40

Logo, as medidas de frente para cada lote são x = 80, y = 60 e z = 40

3) Determine x e y, sendo r, s e t retas paralelas. Veja figura.

Solução

Temos que:

            (2+x-7) / x = (x - 7) / 12 → 12 x – 60 = x² - 7x → x² – 19x + 60 = 0

            x = (-19 ± √19² -4.1.60) / 2 → xⁱ = 15 e xⁱⁱ = 4 → x = 15]

            Como são proporcionais, temos que y = 20 – 4 → y = 16, ou ainda

            Y / 12 = 20 / 15 → y = 240 / 15 → y = 16

            Portanto, x = 15 e y = 16

4) Dados um triângulo ABC e um segmento DE com D em AB e E em AC, prove que, se AD : DB = AE : EC, então DE é paralelo a BC.

        Solução

Pelo Teorema de Tales, os segmentos AB e AC são transversais aos segmentos DE e  BC, sendo assim a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. Logo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC.                   

5) No triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a medida de CN.

      Solução

Pelo Teorema de Tale segue que:

            CN / 10 = 36 / 32 → CN = 360 / 32 = 45 / 4 cm

            Logo, CN = 45 / 4 cm

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Para Saber Mais:

DOLCE, Osvaldo. POMPEO, Nicolau José. Fundamentos de Matemática Elementar - Geometria Plana, vol 9 - Atual Editora, 1995

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SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

A semelhança é um conceito natural e intuitivo. Figuras “parecidas” ou “que têm a mesma forma” são ditas semelhantes. Todavia, vamos estabelecer o conceito matemático de semelhança de triângulo, porém, vamos ver antes como e onde este conceito foi concebido.

AS DESCOBERTAS GEOMÉTRICAS DE TALES DE MILETO

            As pirâmides egípcias são monumentos grandiosos. A técnica empregada em sua construção até hoje fascina o homem.

Pirâmide de Quéops

A  Pirâmide Quéops, no Egito, foi construída cerca de 2500 a.C. Considerada uma das sete maravilhas do mundo antigo, ela tem aproximadamente 150 m de altura. Sua base é um quadrado, cujos lados medem cerca de 230 m.

Certa vez, o matemático e filósofo grego Tales apresentou-se ao Rei Amasis, do Egito, oferecendo-se para calcular a altura de uma pirâmide, sem escalar o monumento.

Tales percorreu as areias quentes do deserto e, nas proximidades da pirâmide, fincou uma estaca no chão. E concluiu que, no momento em que o comprimento da sombra da estaca fosse igual ao comprimento da própria estaca, a altura da pirâmide seria igual ao comprimento da sombra da pirâmide mais metade da medida da base.

Com esse método, Tales inaugurou o processo de medida indireta, largamente usado até hoje em Astronomia e para medir distâncias de locais inacessíveis.

Tales também previu o eclipse (Obscurecimento total ou parcial de um astro pele interposição de um corpo celeste entre ele e o observador ou entre o astro e o Sol que o ilumina.) do Sol, ocorrido no dia 28 de maio de 585 a.C.; criou um método para calcular a largura de um rio e um método para calcular a distância de um barco que se aproxima.

A Tales são atribuídas as seguintes descobertas geométricas:

Teorema de Tales

A IDEIA DE SEMELHANÇA

          A palavra semelhante quer dizer parecido. Mas, na Geometria, essa palavra tem um significado mais preciso. Por exemplo, dois mapas mundi, sendo um ampliação do outro,  na Geometria, dizemos que esses mapas são figuras semelhante, devido aos dois mapas terem exatamente a mesma forma, embora seus tamanhos sejam diferentes.

          Na Geometria, a palavra semelhante está ligada à idéia de mesma forma. Assim, uma ampliação, uma redução e até mesmo uma congruência são exemplos de semelhança.

          Trataremos de um caso especial de semelhança:

A Semelhança de Triângulos

Consideremos o seguinte problema:

Uma moeda de 2 cm de diâmetro, colocada a 2 m dos olhos, cobre exatamente a Lua cheia. Sabe-se que a Lua está a uma distância de 300.000 km da Terra, aproximadamente. Com estes dados, você é capaz de calcular o diâmetro da Lua?

Observando o desenho acima, vamos desdobrá-lo em duas figuras geométricas:

Observe que as duas figuras possuem a mesma “forma”, embora tenham tamanhos “diferentes”. Essas figuras são denominadas figuras semelhantes.

Definição:

          Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.

∆ABC ~ ∆A´B´C´  ↔  ≡ ´, B ≡ B´, C ≡ C´ e a/a´= b/b´= c/c´

Dois lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes.

São homólogos os lados:

                              BC e B´C´ (opostos aos ângulos  e ´)

                              AC e A´C´ (opostos aos ângulos B e B´)

                              AB e A´B´ (opostos aos ângulos C e C´)

Razão de Semelhança

          Seja K a razão de semelhança entre os lados homólogos, então

                              a/a´= b/b´= c/c´ = K,  K é chamado razão de semelhança dos triângulos.

          Se K = 1, os triângulos são congruentes.

Ex_1. 

Seja ∆ABC e ∆A´B´C´ triângulos semelhantes. Os lados do segundo têm medidas A´B´ = 3 cm, A´C´ = 7 cm e B´C´ = 5 cm. A medida do lado AB do primeiro é 6 cm, vamos obter a razão de semelhança dos triângulos e os outros dois lados do primeiro triângulo. 

Solução:

∆ABC ~ ∆A´B´C´ à a/a´= b/b´= c/c´à a/5 = b/7 = 6/c = 2

          Como a razão de semelhança é 2, segue que

          a/5 = b/7 = 2 à a/5 = 2 à a = 10 e b/7 = 2 à b = 14

          Portanto, BC = 10 cm e AC = 14 cm.

Propriedades:

          Da definição de triângulos semelhantes verifica-se facilmente que a semelhança é uma relação de equivalência, pois possui as propriedades:

i)               Reflexiva: ∆ABC ~ ∆ABC

ii)              Simétrica: ∆ABC ~ ∆RST  ↔ ∆RST ~ ∆ABC

iii)             Transitiva: ∆ABC ~ ∆RST, ∆RST ~ ∆XYZ  → ∆ABC ~ ∆XYZ

Teorema Fundamental:

          Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

          Hipótese                 Tese

          DE // BC       →       ∆ADE ~ ∆ABC

          Demonstração

          Para provarmos a semelhança entre ∆ADE e ∆ABC, precisamos provar que eles têm ângulos ordenadamente congruentes e lados homólogos proporcionais. Assim:

                    1º Os ângulos são congruentes

                    DE // BC → D ≡ B e E ≡ C (ângulos correspondentes), então temos: D ≡ B, E ≡ C e  comum (i)

                    2º Lados correspondentes são proporcionais

                    Pelo Teorema de Tales temos:

                    AD / AB = AE / AC

Por E construímos EF paralela a AB, com F em BC.

                    A figura obtida BDEF (acima) é um paralelogramo, pois os lados são paralelos

                                         DE ≡ BF à AE / AC = DE / BC à  pelo Teorema de Tales

                    Segue que, AD / AB = AE / AC = DE / BC ii.

          Portanto, de i e ii concluímos que ∆ADE ~ ∆ABC

Ex_2.

Um triângulo ABC tem os lados AB = 12 cm, AC = 13 CM e BC = 15 cm. A reta DE paralela ao lado BC do triângulo determina um triângulo ADE, em que DE = 5 cm. 

Calcule AD = x e AE = y.

          

Solução: 

Aplicando o Teorema Fundamental, vem:

DE // BC à ∆ADE ~ ∆ABC à x/12 = y/13 = 5/15 à x = 4 e y = 13/3    

     

                    Portanto, AD = 4 cm e AE = 13/3 cm    

Casos ou Critérios de Semelhança:

a.    Caso Ângulo Lado Ângulo

Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são iguais.

b.    Caso Lado Ângulo Lado

Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes.

c.     Caso Lado Lado Lado

Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.

Observações:

Com base nos casos de semelhança, podemos ter os resultados seguintes:

Se a razão de semelhança de dois triângulos é K, então:

          a razão entre lados homólogos é K;

          a razão entre os perímetros é K;

          a razão entre as alturas homólogas é K;

          a razão entre as medianas homólogas é K;

          a razão entre as bissetrizes internas homólogas é K;

          a razão entre os raios dos círculos inscritos é K;

          a razão entre os raios dos círculos circunscritos é K;

          .    .        .          .    .       .         .                .              .   .

          .    .        .          .    .       .         .                .              .   .

          .    .        .          .    .       .         .                .              .   .

          a razão entre dois elementos lineares homólogos é K;

          e os ângulos homólogos são congruentes.

Para Saber Mais:

DOLCE, Osvaldo. POMPEO, Nicolau José. Fundamentos de Matemática Elementar - Geometria Plana, vol 9 - Atual Editora, 1995.

FACCHINI, Walter. Matemática volume Único - 2ª edição. Editora Saraiva, 1997.

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