PAPPUS DE ALEXANDRIA

Imagem extraída de Wikipédia

"As abelhas, devido a certa ideia geométrica, sabem que os prismas de seção hexagonal são maiores do que os de seção triangular e quadrada, e que haverá mais mel armazenado utilizando o mesmo número de material." 

Pappus

Pappus de Alexandria (290-350 d.C.) foi o que se chama atualmente de comentarista. Foi o principal matemático grego da sua época, a matemática original que ele criou foi muito importante, pois seus Lemas são suplementares para as Proposições de Euclides, Arquimedes, Apolônio e Ptolomeu. A fama de Pappus reside em sua extensa e principal obra denominada Synagoge (Coleção), na qual ele reuniu uma lista eclética de obras antigas – tendo o Livro I e parte do Livro II se perdido - de alguns autores muito importantes.

Nesse compêndio, ele acrescentou um número considerável de suas próprias explanações e ampliações. Synagoge contém oito Livros, ou Capítulos, cada um existindo como uma obra única. Alguns dos tópicos abordados por Pappus são: Cônicas, Geometria Plana, Mecânica e, de especial interesse para os alunos de cálculo, linhas retas tangentes a certas curvas.

No Livro II ocupa-se do método desenvolvido por Apolônio para escrever números grandes e operar com eles. O Livro III contém quatro partes, sendo que a primeira e a segunda lidam com a Teoria das Medidas; a terceira com algumas desigualdades num triângulo e a quarta lida com a Inscrição dos Cinco Poliedros Regulares numa esfera dada. Encontra-se no Livro IV a extensão de Papus ao Teorema de Pitágoras. Isoperimetria (é a característica de duas figuras de perímetro igual) é o tema do Livro V, onde também está o Problema das Abelhas (vide citação). No Livro VI que trata de Mecânica, Pappus foi o primeiro a definir o conceito de Centro de Gravidade. No final do livro VII, O Tesouro da Análise, ele descreveu, sem verificar, duas fórmulas que relacionam determinados centros de gravidade a volumes de sólidos de revolução e suas áreas de superfície. O Livro VIII contém extenso material da própria criação de Pappus, onde a solução do problema de construção de uma cônica por cinco pontos dados. As fórmulas de Pappus oferecem atalhos para cálculos extensos e complexos.

A obra de Pappus é uma fonte riquíssima em Geometria, muito se deve a este tratado que é o último compêndio matemático antigo significativo, no entanto a tentativa, de Pappus, de ressuscitar a Geometria não teve sucesso. Ele faz citações a trabalhos de mais de trinta matemáticos de renome da antiguidade. Depois de Pappus, muitas obras foram escritas em grego por mais de um milênio, mas os autores jamais atingiram o nível de Pappus.  

Para Saber Mais:

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática (An Introdution To The History Of Mathematics, © 1964 – Tradução: Higyno H. Domingues). Editora da Unicamp, São Paulo, 2004

Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς

BERNHARD RIEMANN

Bernhard Riemann foi um matemático alemão, nascido no dia 17 de setembro de 1826, em Bresenley, Hanôver. Demonstrou vocação para a Matemática desde muito jovem. Sua obra foi uma das mais importantes contribuições no campo da Análise e teve repercussão considerável sobre a Matemática Moderna.

Revolucionou a Teoria das Funções de Variáveis Complexas, em 1851, em sua tese de doutorado aprovada por seu mestre Gauss. Em 1854, em uma tese consagrada à representação de uma função por Séries Trigonométricas, Riemann deu o exemplo de uma Função Contínua não derivável, uma novidade que feria a Matemática de meados do século XIX.

Nesse mesmo trabalho, Riemann desenvolveu uma Teoria da Integração, mais genérica do que a de Cauchy, aplicável às Funções Limitadas. Em Teoria dos Números, mostrou a importância da Função Zeta na Teoria Aritmética dos Números Primos.

A função zeta de Riemann é uma Função Complexa de Variável Complexa definida para Re(s) > 1 pela série:

Em seu célebre ensaio sobre as hipóteses que servem de fundamento à Geometria, Riemann discutiu a própria natureza do espaço e desenvolveu uma geometria baseada no conceito das multiplicidades (generalizações das superfícies), ou espaços de Riemann. Desse modo, reconheceu no espaço físico uma multiplicidade de três dimensões, amorfa, formada somente pelo seu próprio conteúdo material, que determina igualmente sua métrica.

Riemann desenvolveu, a partir das multiplicidades de curvatura positiva, uma geometria não euclidiana que não admitia retas paralelas. Einstein demonstrou, meio século depois, que essa geometria de Riemann (com papel fundamental na teoria da relatividade geral) é uma representação do Universo muito mais precisa do que a geometria de Euclides. Riemann morreu no dia 20 de junho de 1866, em Selasca, às margens do lago Maggiore.

{@@}

<> 

TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA

           Diz-se que uma circunferência é orientada quando nela se fixa um sentido positivo de percurso. Convencionou-se, em trigonometria, como sentido positivo o sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio, dito sentido anti-horário. Assim, é natural chamar o sentido negativo por sentido horário.  A todo arco de uma circunferência orientada chama-se orientado.

            Note que a cada arco orientado AB, onde A é a origem e B é o ponto extremo, está associado um número real α, que é a sua medida. O módulo de α é o comprimento do arco orientado.

                                                           

  

            Quando a origem e a extremidade de um arco são coincidentes diz-se que o arco é nulo.

           

            Fixado um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy no plano, denomina-se Circunferência Trigonométrica ou Ciclo  Trigonométrico a circunferência orientada de centro na origem do sistema, de raio unitário r = 1 e sentido positivo ou anti-horário.

  

            O Ciclo Trigonométrico é dividido em quatro partes iguais chamadas quadrantes. As retas x e y que são os eixos do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy que estabelecem esta divisão.

           

           

            Observe que os quadrantes do Ciclo Trigonométrico apresentam variações em graus e em radianos. Veja a figura abaixo.

REPRESENTAÇÃO DE UM ARCO

NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

           

Tabela 1
ARCOS DE MEDIDAS  º
60º+360º	60º-360º	têm a mesma extremidade do arco de 60º
60º+2 x 360º	60º-2 x 360º
60º+3 x 360º	60º-3 x 360º
⁞	⁞
60º+n x 360º	60º-n x 360º
Portanto se diferem apenas pelo número de voltas inteiras

Tabela 2
ARCOS DE MEDIDAS  rad
π/3 + 2π	π/3 - 2π	têm a mesma extremidade do arco de π/3 rad
π/3 + 2 x 2π	π/3 – 2 x 2π
π/3 + 3 x 2π	π/3 – 2 x 2π
⁞	⁞
π/3 + n x 2π	π/3 - n x 2π
Portanto se diferem apenas pelo número de voltas inteiras

            Pelas observações da tabela 1 e tabela 2, defini-se: dois arcos são côngruos ou congruentes se têm a mesma extremidade e se diferem pelo número de voltas inteiras. Note que arcos de medidas

⁞

60º - 2 x 360º

60º - 1 x 360º

60º

60º + 1 x 360º

60º + 2 x 360º

⁞

são arcos côngruos e podem ser expressos por 60º + k.360º, k ɛ Z. Também /arcos de medidas

⁞

π/3 – 2 x 2π

π/3 – 1 x 2π

π/3

π/3 + 1 x 2π

π/3 + 2 x 2π

⁞

são arcos congruentes e podem ser expressos por π/3 + k.2π, k ɛ Z.

            Portanto se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos congruentes a ele é αº + k.360º, k ɛ Z; e se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é α + 2kπ, k ɛ Z.

Aplicação:

            Partindo do ponto A, um móvel percorreu um arco de 1860º. Quantas voltas completas ele deu e em que quadrante parou?

Solução: Divide 1860º por 360º, assim obtém-se o quociente igual a 5 e resto igual a 60.

            Portanto, o móvel deu 5 voltas completas no sentido anti-horário. Observe que 0º < 60º < 90º, então o móvel parou no primeiro quadrante.

Para Saber Mais:

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – Trigonometria – volume 3, 7ª edição. Editora Atual, São Paulo, 1995.

GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Matemática 1 – Conjuntos, Funções, Trigonometria. Editora FTD, São Paulo, 1992.

.

α + 2kπ

TRIGONOMETRIA

A TRIGONOMETRIA

DA ORIGEM ATÉ A SISTEMATIZAÇÃO

              Os estudantes do ensino médio aprendem que trigonometria é o ramo da matemática que estuda a relação entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo e que este estudo não é algo recente, mas que teve origem na antiguidade.

            Os matemáticos antigos fundamentaram-se em dois conceitos poderosos para realizar os seus trabalhos – por exemplo, calcular a altura das pirâmides, a largura dos rios e a altura das montanhas - que são: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULO e RAZÃO ENTRE DOIS NÚMEROS. Embora o conhecimento matemático dos antigos fosse muito rudimentar esses procedimentos deram início à trigonometria.

            A trigonometria não foi obra de um homem, muito menos de somente um povo. Ela é considerada uma extensão natural da geometria e os antigos egípcios e babilônios usavam-na para solucionar muitos problemas na agrimensura (esticadores de cordas), navegação (rotas marítimas) e astronomia (determinação de eclipses, fases da lua e distâncias inacessíveis). Foram os babilônios que dividiram a circunferência em graus, minutos e segundos, que estão em uso até hoje.

               O conceito de razão era usado pelos egípcios para calcular uma inclinação qualquer. Porém eles seguiam um raciocínio inverso ao conceito moderno: Se uma construção se eleva 50 metros para um afastamento de 100 metros, nos padrões modernos a inclinação da construção é de 50/100 ou 50%. No entanto, para os egípcios ao que se chama inclinação eles denominavam como seqt que era a razão entre o afastamento horizontal e a elevação vertical. Calculada de modo inverso ao atual: seqt = 100/50 = 2. 

Uma façanha atribuída ao matemático grego Tales de Mileto (624 a.C. – 558 a.C.) é que ele podia calcular a altura de uma construção - por mais elevada que fosse, sem precisar subir nela - por meio de semelhança. É de Tales o Teorema: Um feixe de paralelas determina em duas transversais, quaisquer, seguimentos proporcionais.

Uma demonstração simples para o Teorema de Tales, usando a propriedade “Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal” e o fato de que os segmentos AB e BC sejam comensurais e assim atribuindo valores numéricos a eles é:

1 – Primeiramente suponha que AB e BC sejam comensuráveis s seja u a unidade padrão de medida. Temos:

    AB = 5 u         

                                                            à      AB / BC   = 5 / 3

BC = 3 u

            2 – Agora trace pelos pontos de divisão de AB e BC as paralelas à reta a = AM do feixe, que vão interceptar t₂ em segmentos congruentes v, de acordo com a propriedade do feixe de paralelas, então:

                                  

    MN = 5 v         

                                                            à      MN / NP   = 5 / 3

NP = 3 v

            3 – Finalmente compare o item 1 com o item 2, assim temos:

AB/BC  = MN/NP à AB, BC, MN e NP são proporcionais ▪

       Note que se AB e BC forem incomensuráveis, o Teorema de Tales também é verdadeiro.

         O conceito de trigonometria pode ser encontrado também no trabalho do grego Aristarco de Samos (310 a.C.- 250 a.C.) intitulado Das grandezas e das distâncias ao Sol e à Lua que é um tratado de astronomia. Nessa obra aparece a expressão: 1/20 < sen 3º < 1/18.

       Muitos pesquisadores atribuem ao astrônomo e matemático grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. – 125 a.C.) o estabelecimento das bases da trigonometria, devido ele ser o primeiro a usar as relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e também construiu, presume-se, a primeira tabela trigonométrica. Devido a isso, a sociedade científica moderna o considera o Pai da Astronomia.

Séculos depois os hindus e os árabes muito contribuíram para o desenvolvimento da trigonometria. A matemática árabe atingiu, no século XII, um desenvolvimento muito grande que nesse século, realizaram-se muitas traduções do árabe para o latim, este fato possibilitou o desenvolvimento da matemática europeia. As traduções foram feitas por bons matemáticos e nesse meio estava o inglês Robert de Chester (sec XII 1140 - ?) que muito se destacou.

Os árabes haviam traduzido textos de trigonometria do idioma sânscrito e nesse processo, quando encontraram a palavra jiva (meia corda) eles escreveram jiba. É comum na língua árabe escrever apenas as letras consoantes de uma palavra e deixar o leitor acrescentar mentalmente as vogais. Desta forma, os tradutores árabes registraram: jb. Chester, ao traduzir do árabe para o latim, interpretou jb como sendo as consoantes da palavra jaib, que em latim significa baía ou enseada e escreve-se assim: sinus.

Devido a isso, a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa de um triângulo retângulo passou a ser chamada de sinus que em português significa seno: sen α/2 = cateto oposto / hipotenusa = jiva / 1. Note que a razão seno é válida para qualquer triângulo retângulo, pois triângulos semelhantes têm os lados proporcionais. Isto significa que em qualquer triângulo que tiver um ângulo agudo medindo α / 2, a razão entre o cateto oposto ao ângulo α / 2 e a hipotenusa é dito seno de α / 2: sen α / 2 = b / a.

Toda a trigonometria estudada até hoje está fundamentada no seno dos hindus e todas as outras razões trigonométricas no triângulo retângulo foram criadas, a partir de seno, são: cosseno, tangente e cotangente.

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa: cos α / 2 = c / a.

Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente ao ângulo: tg α / 2 = b / c.

Cotangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto ao ângulo: cotg α / 2 = c / b.

Um exercício clássico de trigonometria é: Pergunta-se: Qual é a largura L (em metro) de um rio, sem atravessá-lo? Para isso, adota-se o seguinte procedimento:

1-    Marca-se dois pontos, A (uma estaca) e B (uma árvore), um em cada margem do rio, tal que o ângulo no ponto A seja reto.

2-    Marca-se um ponto C, distante 10 metros de A, onde fixamos o teodolito (aparelho medidor de ângulos).

3-    Medimos o ângulo de 80º no ponto C.

Mediante as condições, calcule a largura L do rio.

Solução: Note que o triângulo ABC é retângulo, onde L = cateto oposto ao ângulo de 80º e 10 = cateto adjacente ao ângulo de 80º. Segue que:

Tg 80º = L / 10 à 5,7 = L / 10 à L = 5,7 x 10  à L = 57 m, que é a largura do rio.

O primeiro a sistematizar a trigonometria foi o matemático alemão Johann Müller von Königsberg (1436-1476) - conhecido pelo topônimo Regiomontanus (Königsberg para o latim Regiomontanus para o português Montanha do Rei) – em sua obra De Triangulis Omnimodis (Tratados dos Triângulos) onde expõe métodos para resolver triângulos, marcando assim o renascimento da trigonometria. Entretanto, com o passar do tempo, a trigonometria evoluiu muito que além de ser utilizada na agrimensura, navegação marítima e astronomia é usada em larga escala na física, na navegação aérea e na engenharia.  

Para Saber Mais:

GUELLI, Oscar. Dando Corda na Trigonometria, número 6 – Contando a História da Matemática. Editora Ática, São Paulo, 1993.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – Trigonometria – volume 3, 7ª edição. Editora Atual, São Paulo, 1995.

BOYER, Carl B. História da Matemática (A History Of Mathematics, 1991 – Tradução: Elza F. Gomide), 2^a edição. Editora Blucher Ltda, São Paulo, 1996.

trigonõnmetron

QUADRADOS MÁGICOS

QUADRADOS MÁGICOS

            No estudo de Álgebra Linear, especificamente espaços vetoriais, é comum se trabalhar com as matrizes de ordem nxn na resolução de sistemas de equações. Alguns autores, porém antes de introduzir e definir espaços vetoriais e subespaços, definem quadrado mágico: Uma matriz M, nxn, é dita quadrado mágico se a soma dos elementos em ambas as diagonais, em cada linha e em cada coluna  é a mesma. Definição de David Poole professor do Departamento de Ciência da Computação, da Universidade de British Columbia.

            Os chineses antigos tinham por hábito recreativo os quadrados mágicos. Segundo uma lenda antiga estes artefatos matemáticos foram trazidos para os homens por uma tartaruga que nadava no Rio Lo nos tempos do Imperador Yii, Segundo a história, ele era um engenheiro hidráulico. Um dos livros chineses mais antigos de matemática é o Chui-Chang Suan ou Nove Capítulos sobre a Arte Matemática, nele está resolvido o sistema de equações lineares simultâneas, que em notação moderna fica:

3x + 2y + z = 39

2x + 3y + z = 34

x + 2y + 3z = 26

Efutuando as operações elementares nas colunas da matriz

1     2     3

2     3     2

3     1     1

26    34    39

chega-se a

0     0    3

0     5     2

36    1     1

   99   24    39

            E ainda tem um segundo modo para a solução que em notação moderna fica: 36z = 99, 5y + z = 24 e 3x + 2y + z =39, onde se calcula facilmente os valores de z, y e x.

Quadrado Mágico  Lo Shu versão islâmica
٤	٩	٢	=	4	9	2
٣	٥	٧		3	5	7
٨	١	٦		8	1	6

Lo Shu versão hebraica
	ט		=		9
ג	ה	ז		3	5	7
	א				1

Imagem extraída Wikipédia

            

            Na gravura acima, intitulada Melancolia I de 1514 do artista e matemático alemão Albrecht Dürer (1471-1528) aparece um quadrado mágico pendurado na parede no canto superior direito, assim expresso:

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

            Note que a soma dos números em ambas as diagonais, em cada linha e em cada coluna é a mesma, que é 34. Observe também que os elementos do quadrado são os números inteiros 1, 2, 3, ..., 16. Dürer foi perspicaz por colocar os números 15 e 14 lado a lado proclamando assim a data da gravura.

            O enviado de Luis XIV à corte do Sião, em 1687, Simon de la Loubère (1642-1729) apresentou um método simples para formar quadrados mágicos de ordem ímpar. La Loubère era amigo do matemático alemão Gottfried Leibniz e tinha grande interesse por filosofia e matemática. A pergunta era: “Quantos quadrados mágicos existem em cada ordem?”. Não existe quadrado mágico de ordem 2, isto é fácil verificar. De ordem 3 existe somente um, o Lo Shu, no entanto encontram-se  oito disposições diferentes se utilizarmos simetrias em relação às diagonais do quadrado e rotações em torno do centro. Existem 880 quadrados mágicos de ordem 4, mas se fizermos rotações e simetrias teremos 7040 disposições diferentes. O problema ainda não está resolvido para o caso de quinta ordem, porém é sabido que o número ultrapassará treze milhões.

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

           

Para Saber Mais:

VELOSO, Eduardo. Viana, José Paulo. Um Cubo Primo (Desafios VI). Editora EDITEC, 2008.

POOLE, David. Álgebra Linear – Linear Algebra: A Modern Introduction. Editora Thomson, 2004.

BOYER, Carl B. História da Matemática (A History Of Mathematics, 1991 – Tradução: Elza F.Gomide), 2^a edição. Editora Blucher Ltda, São Paulo, 1996.

Imagem extraída do sítio Universidade de Coimbra

א ב ג ד ה ו ז ח ט

۹ ۸ ۷ ۶  ۵ ۴ ۳ ۲ ۱